习题2-11. 观察下列数列的变化趋势,写出其极限：<1> ; <2>；<3>； <4>.解：<1> 此数列为所以<2>所以原数列极限不存在<3>所以<4>所以2.下列说法是否正确：<1>收敛数列一定有界; <2>有界数列一定收敛；<3>无界数列一定发散；<4>极限大于0的数列的通项也一定大于0.解：<1> 正确<2> 错误 例如数列有界,但它不收敛<3> 正确<4> 错误 例如数列极限为1,极限大于零,但是小于零3.用数列极限的精确定义证明下列极限：<1>; <2>；<3>证：<1>对于任给的正数ε,要使,只要即可,所以可取正整数.因此,,,当时,总有,所以.<2>对于任给的正数ε,当时,要使,只要即可,所以可取正整数.因此,,,当时,总有,所以.<3>对于任给的正数ε,要使,只要即可,所以可取正整数.因此,,,当时,总有,所以.习题2-21. 利用函数图像,观察变化趋势,写出下列极限：<1>; <2>；<3>； <4>;<5>; <6>；<7>； <8>解：<1>; <2>；<3>； <4>;<5>; <6>；<7>； <8>2. 函数在点x0处有定义,是当时有极限的< D > 必要条件 充分条件 充要条件 无关条件 解：由函数极限的定义可知,研究当的极限时,我们关心的是x无限趋近x0时的变化趋势,而不关心在处有无定义,大小如何。
3. 与都存在是函数在点x0处有极限的< A > 必要条件 充分条件 充要条件 无关条件 解：若函数在点x0处有极限则与一定都存在4． 设 作出的图像；求与；判别是否存在?解：,,故不存在5．设,,当时,分别求与的左、右极限,问与是否存在?解：由题意可知,则,,因此由题意可知,,,因此不存在6.用极限的精确定义证明下列极限：<1>; <2>；<3>.证：<1>,要使,只要即可.所以,,当时,都有,故. <2>对于任给的正数ε,要使,只要.所以, ,当时,都有不等式成立.故.<3>对于任给的正数ε,要使,只要.所以, ,当时,都有不等式成立.故.习题2-31．下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大?<1>; <2>; <3>．解：<1> 因为,故时为无穷小,因为,故时为无穷大<2> 因为,故时为无穷小,因为,,故和时都为无穷大<3> 因为,,故和时为无穷小,因为,故时为无穷大2．求下列函数的极限：<1> ; <2>; <3>.解：<1> 因为,,且,故得.<2>因为,,且,故得.<3>因为,且,故得.习题2-41. 下列运算正确吗?为什么?<1> ;<2>.解：<1>不正确,因为不存在,所以此时极限的四则运算法则失效。
正确做法是：因为,且,故得.<2> 不正确,因为,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效正确做法是：因为,由无穷小与无穷大的关系可知.2. 求下列极限：<1>； 〔2；〔3;<4>;<5>; 〔6;<7>; <8>;<9>.解：<1>； 〔2；〔3;<4>;<5>; 〔6; 因为,且,所以<7>; <8>;<9>.3.已知 , 求 解：因为,,所以,,习题2-51.求下列函数的极限：<1>;<2>;<3>; 〔4;<5>;<6>.解：<1>;<2>;<3>; 〔4;<5>;<6>.2. 求下列函数的极限:<1>;<2>;<3> ; <4>.解：<1>;<2>;<3> ; <4>.习题2-61.当时,与相比,哪个是高阶无穷小量？解：因为,所以比高价2.当时,无穷小量与〔1；〔2是否同阶？是否等价？解：因为,所以与是同阶无穷小,因为,故无穷小量与是等价无穷小3. 利用等价无穷小,求下列极限:<1>;<2>；〔3；〔4；〔5；〔6.解：<1>;<2>；〔3；〔4；〔5；〔6.习题2-71.研究下列函数的连续性,并画出图形：〔1 〔2 〔3.解：〔1在区间和是初等函数,因此在区间和是连续函数,因为,所以在点右连续,因为,,且,所以在点连续,综上所述,在区间是连续函数。
〔2在区间,和是初等函数,因此在上是连续函数,因为,,且,所以在点连续,因为,,所以在点间断,综上所述,在区间是连续函数,在点间断〔3由题意知,,当时,,当时,,因此,在区间,和是初等函数,因此在上是连续函数,因为,,所以在点间断,因为,,所以在点间断,综上所述,在上连续,在点间断2. 求下列函数的间断点,并判断其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义,使其在该点连续：<1> ; <2> ;<3> ；〔4；<5>; <6> 解：<1> 在无定义,因此为函数的间断点,又因为,所以为函数的可去间断点,补充定义,原函数就成为连续函数<2> 在无定义,因此为函数的间断点,由,可得,由,可得,所以为函数的跳跃间断点<3> 在无定义,因此为函数的间断点,由,可得,由,可得,所以为函数的无穷间断点〔4在无定义,因此为函数的间断点,因为,所以为函数的可去间断点,补充定义,原函数就成为连续函数,因为,所以为函数的无穷间断点<5>在,无定义,因此和都为函数的间断点,因为,所以为函数的可去间断点,补充定义,原函数就成为连续函数,因为,所以为函数的无穷间断点<6> 因为,,所以为函数的跳跃间断点。
3. 在下列函数中,当a取什么值时函数在其定义域内连续?<1> <2> 解：<1>在是连续函数,因此只要在时连续,就在其定义域内连续因为,,所以只要,就在其定义域内连续<2>在区间是连续函数,因此只要在时连续,就在其定义域内连续因为,,所以只要,就在其定义域内连续4. 求下列函数的极限：<1>;<2>;<3>;<4>;<5>;<6>.解：<1>;<2>;<3>;<4>;<5>;<6>.5.证明方程在内必有实根.证明：设.因为函数在闭区间上连续,又有, 故.根据零点存在定理知,至少存在一点,使,即．因此,方程在内至少有一个实根ξ.6. 证明方程至少有一个正根,并且它不大于.证明：设.因为函数在闭区间上连续,又有, 故.根据零点存在定理知,至少存在一点,使,即．因此,方程在内至少有一个实根,即方程至少有一个正根,并且它不大于复习题2〔A1. 单项选择题：<1> 设,则< B > 有界 无界 单调增加 时, 为无穷大解：,,因此无界,但是的极限不存在,也不是单调数列,故只有B选项正确<2> 若在点x0处的极限存在,则< C > 必存在且等于极限值 存在但不一定等于极限值 在处的函数值可以不存在 如果存在,则必等于极限值解：由函数极限的定义可知,研究当的极限时,我们关心的是x无限趋近x0时的变化趋势,而不关心在处有无定义,大小如何。
2. 指出下列运算中的错误,并给出正确解法：<1>;<2>;<3>;<4>.解：<1> 因为,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效正确做法是：因为.<2> 因为,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效正确做法是：因为,由无穷小与无穷大之间的关系可知.<3> 因为和都不存在,所以此时极限的四则运算法则失效正确做法是：.<4> 因为,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效正确做法是：.3. 求下列极限：<1>；<2>;<3>;<4>;<5>;〔6;<7>；〔8;<9>;<10>;<11>;<12> ;解：<1>；<2>;<3>;<4>;<5>;〔6;<7>；〔8;<9>; ;<10>;<11>;<12> .4. 求下列函数的间断点,并判断其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义,使其在该点连续：〔1;<2> .解：〔1因为,,所以是函数的跳跃间断点<2> 因为在,无定义,因此,为函数的间断点,因为,,所以是函数的跳跃间断点；因为,所以是函数的可去间断点,补充定义,则在连续；因为,所以是函数的无穷间断点5．设f＝<1> 当a为何值时,是的连续点?<2> 当a为何值时,是的间断点?是什么类型的间断点?解：<1> 因为,,,所以当时,是的连续点。
<2>当时,是的跳跃间断点6.试证方程至少有一个小于1的正根.解：设.因为函数在闭区间上连续,又有, 故.根据零点存在定理知,至少存在一点,使,即．因此,方程在内至少有一个实根ξ.〔B1. 讨论极限是否存在？解：由,可得,故由,可得,故所以为函数的跳跃间断点2. 求下列极限.<1>； <2> ;<3> ;<4> . 解：<1>令,则； <2> ;<3> ;<4> 因为,所以.3．问a,b为何值时,. 解：因为且所以,由此式可解得,所以,由此式可解得.4．问a为何值时,函数连续.解：因为在是初等函数,因此只要在连续,就是连续函数由,,,由可解得时,所以当时是连续函数5．函数在下列区间有界的是 < A >.A. ；B.； C. ； D..解：用排除法,因为,所以在,,都无界6.函数的可去间断点的个数为< C >.A. 1；B.2； C. 3； D.无穷多个.解：是的间断点,因为,,,所以是可去间断点,在时,是无穷间断点7. 函数的间断点情况是 < B >.A. 不存在间断点；B.存在间断点； C.存在间断点； D.存在间断点.解：由题意知,,当时,,当时,,因此,在区间,和是初等函数,因此在上是连续函数,因为,,所以在点间断,因为,,且, 所以在点连续,综上所述,只在点间断。
8. 设0