6-1-2.还原问题〔一教学目标本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习,可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法,并会运用倒推法解决问题．1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．3. 培养学生"倒推"的思想．知识点拨一、还原问题已知一个数,经过某些运算之后,得到了一个新数,求原来的数是多少的应用问题,它的解法常常是以新数为基础,按运算顺序倒推回去,解出原数,这种方法叫做逆推法或还原法,这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理,根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算,逐步逆推．二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．方法：倒推法口诀：加减互逆,乘除互逆,要求原数,逆推新数．关键：从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘．列式时还要注意运算顺序,正确使用括号.例题精讲模块一、计算中的还原问题【例 1】 一个数的四分之一减去5,结果等于5,则这个数等于_____。
[考点]计算中的还原问题 [难度]1星 [题型]填空[关键词]希望杯,五年级,二试,第3题【解析】 方法一：倒推计算知道,一个数的四分之一是,所以这个数是方法二：令这个数为,则,所以[答案]【例 2】 某数先加上3,再乘以3,然后除以2,最后减去2,结果是10,问：原数是多少？[考点]计算中的还原问题 [难度]1星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推,就可以推出某数如果没减去2,此数是：,如果没除以2,此数是：,如果没乘以3,此数是：,如果没加上3,此数是：,综合算式,原数是5.[答案]【巩固】 <20XX"陈省身杯"国际青少年数学邀请赛>有一个数,如果用它加上,然后乘以,再减去,最后除以,所得的商还是,那么这个数是[考点]计算中的还原问题 [难度]1星 [题型]填空[关键词]可逆思想方法【解析】 将最终结果进行逆推,得： [答案]【巩固】 一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数．你知道这个数是几吗?[考点]计算中的还原问题 [难度]1星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 .[答案]【巩固】 少先队员采集树种子,采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5,再减去25,还剩25,你算一算,共采集了多少个树种子?[考点]计算中的还原问题 [难度]1星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 <个>,即共采集了250个树种子.[答案]【例 3】 学学做了这样一道题：某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数．小朋友,你知道答案吗？[考点]计算中的还原问题 [难度]1星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 根据题意,一个数,经过加法、乘法、减法、除法的变化,得到结果10,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算．,,,综合算式为：所以这个数为1.解这种还原问题的关键是从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘．列式时还要注意运算顺序,正确使用括号,这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．[答案]【巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数．小朋友,你知道答案吗？[考点]计算中的还原问题 [难度]1星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 根据题意,一个数,经过加法、减法、乘法、除法的变化,得到结果16,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算．综合算式为：[答案]【巩固】 一次数学竞赛颁奖会上,小刚问老师："我得了多少分？"老师说："你的得分减去后,缩小倍,再加上后,扩大倍,恰好是分"．小刚这次竞赛得了多少分？[考点]计算中的还原问题 [难度]1星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 从最后一个条件"恰好是分"向前推算．扩大倍是分,没有扩大倍之前应是<分>,加上后是分,没有加上前应是<分>,缩小倍是分,那么没有缩小倍前应是<分>,减去后是分,没有减去前应是<分>．综合列式为：<分>,所以,小刚这次竞赛得了分．[答案]【例 4】 牛老师带着37名同学到野外春游．休息时,小强问："牛老师您今年多少岁啦?"牛老师有趣地回答："我的年龄乘以2,减去16后,再除以2,加上8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数．"小朋友们,你知道牛老师今年多少岁吗?[考点]计算中的还原问题 [难度]2星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 采用倒推法,我们可以从最后的结果"参加活动的总人数"即38倒着往前推．这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？ 没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推,就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：；没除以2时应是：；没减去16时应是：；没乘以2时应是：,即<岁>.[答案]岁【巩固】 小智问小康："你今年几岁？"小康回答说："用我的年龄数减去8,乘以7,加上6,除以5,正好等于4. 请你算一算,我今年几岁？" [考点]计算中的还原问题 [难度]2星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。
这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是多少？没乘以7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推,就可以推出某数如果没除以5,此数是：如果没加上6,此数是：如果没乘以7,此数是：如果没减去8,此数是：综合算式：〔岁答：小康今年10岁[答案]岁【巩固】 在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少岁数?[考点]计算中的还原问题 [难度]2星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 采用倒推法,〔岁.[答案]岁【巩固】 学学和思思在游玩时,遇到一位小神仙,他们问这位神仙："你一定不到100岁吧！"谁知这位神仙摇摇头说："你们算算吧！把我的年龄加上75,再除以5,然后减去15,再乘以10,恰好是2000岁．"小朋友,你知道这位神仙现在有多少岁吗？[考点]计算中的还原问题 [难度]2星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 这就是一个还原问题,可以用倒推法解决．从结果"2000”逐步倒着推,没乘10时是多少？没减去15时是多少？没除以时是多少？没加75时是多少？这样依次倒推,就可以知道神仙的年龄了．1 "乘以10,恰好是2000”,不乘10时,应该是：2 "减去15”是200,不减15时,应该是：3 "除以5”是215,不除以5,应该是：4 现在的年龄加上75是1075,如果不加75,这个数是：也就是神仙现在的年龄是1000岁．验算：按原题顺序进行列式计算,看最后是否等于2000,如果等于2000,则解题正确．,,,．[答案]岁【例 5】 在电脑里先输入一个数,它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数,就把它除以2；如果输入的数是奇数,就把它加上3．同样的运算这样进行了3次,得出结果为27．原来输入的数可能是．[考点]计算中的还原问题 [难度]3星 [题型]填空[关键词]可逆思想方法,第七届,小数报【解析】 本题用倒推法解．最后结果是27,上一步的结果是54,再上一步的结果是108或51,原来输入的数是216,105,102．思路如下：[答案]或或,答案不唯一【例 6】 假设有一种计算器,它由A、B、C、D四种装置组成,将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数。
各装置的运算程序如下： 装置A：将输入的数加上6之后输出；装置B：将输入的数除以2之后输出；装置C：将输入的数减去5之后输出；装置D：将输入的数乘以3之后输出这些装置可以连接,如在装置A后连接装置B,就记作：A→B例如：输人1后,经过A→B,输出3．5<1>若经过A→B→C→D,输出120,则输入的数是多少?<2>若经过B→D→A→C,输出13,则输入的数是多少?[考点]计算中的还原问题 [难度]3星 [题型]填空[关键词]希望杯,五年级,二试,第16题,可逆思想方法【解析】 方法一：逆向考虑〔1输入到D的数为120÷3=40,输入到C的数为40+5=45,输入到B的数为45×2=90,所以输入到A的数是90-6=84〔2输入到C的数是13+5=18,输入到A的数是18-6=12,输入到D的数是12÷3=4,所以输入到B的数是4×2=8方法二：<1>设输入的数是x,则<解得,x=84<2>设输入的数是y,则,解得y=8[答案]〔1；〔2【例 7】 哪吒是个小马虎,他在做一道减法题时,把被减数十位上的6错写成9,减数个位上的9错写成6,最后所得的差是577,那么这道题的正确答案应该是多少呢？[考点]计算中的还原问题 [难度]2星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 被减数十位上的6变成9,使被减数增加,差也增加了30；减数个位上的9错写成6,使减数减少了,这样又使差增加了3,这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577,求正确的差．所以列式得：．这题的正确答案应该是544．[答案]【巩固】 小马虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的看作,十位上的看作,结果和是,那么正确的结果应该是多少呢？[考点]计算中的还原问题 [难度]2星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 我们可以这样理解这道题的意思：一个数<正确答案>,由于小马虎两次错误的计算,变成了另一个数<错误结果>,我们知道引起这种变化的原因是：①把个位上的看作,这就相当于把正确答案减少了②把十位上的看作,这就相当于把正确答案增加了：这样原题就变成了"一个数减去,再加上,所得结果是,求这个数．"我们只要把少加的加上,多加的减去,就可以求出正确的结果：[答案]【巩固】 淘气在做一道减法时,把减数个位上的9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的结果是164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?[考点]计算中的还原问题 [难度]2星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 或.[答案]【巩固】 小新在做一道加法题,由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123．正确的答案是多少？[考点]计算中的还原问题 [难度]2星 [题型]解答[关键词]可逆思想方法【解析】 倒推法,把个位上的5看作9,相当于把正确的和多算了4,求正确的和,应把4减去；把十位上的8看作3,相当于把正确的和少算了50,求正确的和,应把50加上去．所以正确的和是：.即：.[答案]模块二、单个变量的还原问题【例 8】 一只猴吃63只桃,第一天吃了一半加半只,以后每天吃前一天剩下的一半再加半只,则 _________ 天后桃子被吃完。
[考点]单个变量的还原问题 [难度]2星 [题型]填空[关键词]希望杯,4年级,1试【解析】 通过画表格的方式,可知答案是6.。