精选优质文档-----倾情为你奉上第七讲：正方形与弦图知识点睛一、正方形的弦图早在一千三百多年前，我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积，证明了勾股定理，下图（左）就是赵爽证题时用到的图形，史称“弦图”；此图不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”：FGHABDECOPRQ易知△AEF、△RFE、△DFG、△OGF、△BHE、△QEH、△PHG、△CGH都全等．其中我们把正方形的弦图分为内弦图和外弦图（见下图）．通常情况下，弦图中垂直往往对应着全等，由全等得出对应边相等，对应角相等．由三角形全等，可知他们的面积相等，设它们的面积都为a，则，，于是可得出如下结论：正方形的弦图可以推广延伸到矩形和平行四边形中去，见（右）图：易知FGHABDECOPRQ 例题精讲【例1】 正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接AP，分别过B、D两点作BE⊥AP，DF⊥AP，垂足为E、F，如图①（1）请你通过观察或测量BE、DF、EF的长度，然后猜想它们之间的数量关系．若点P在DC的延长线上，如图②，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系？若P在DC的反向延长线上，如图③，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系；请分别直接写出结论．（2）请在（1）中的三个结论中任意选择一个加以证明． 【例2】 如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形．【例3】 如图，E是BC上的一点，，且Rt△ABE≌Rt△ECD．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）若△AED的面积是，△ABE的面积是6，求△ABE的周长． 【例4】 如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且，AF、BG、CH、DE分别相交于点、、、．求证：四边形是正方形．【例5】 如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．（1）判定四边形PQEF的形状；（2）PE是否总是经过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？ 【例6】 如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，求证：，并说明理由；（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则∠FCN等于多少度？请说明理由． 【例7】 （1）如图（1）正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，试说明．（2）如果把线段BF变动位置如图（2），其余条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．（3）如果把AE与BF变动位置如图（3），结论还成立吗？请说明理由． 【例8】 （2009•威海）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，，连接EG，FH，交点为O．（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，cm，则图3中阴影部分的面积为_______cm2． 【例9】 （1）已知△ABC是等腰直角三角形，现分别以它的直角边BC、斜边AB为边向外作正方形BCEF、ABMN，如图甲，连接MF，延长CB交MF于D．试观测DF与DM的长度关系，你会发现__________（2）如果将（1）中的△ABC改为非等腰的直角三角形，其余作法不变，如图乙，这时D点还具有（1）的结论吗？请证明你的判断．（3）如果将（1）中的△ABC改为锐角三角形，仍以其中的两边分别向外作正方形，如图丙，则应在图中过B点作△ABC的______线，它与MF的交点D恰好也具有（1）的结论．请证明在你的作法下结论的正确性． 【例10】 如图1，在△ABC和△ADE中，，，．（1）求证：；（2）如图2，AM是△ACE的中线，MA的延长线交BD于N，求证：MN⊥BD． 【例11】 （2005•河北）操作示例：对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；②．实践与探究：（1）对于边长分别为a，b（）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由． 【例12】 阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连接AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．小明的做法是：先取，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是；请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）取，如图3，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（直接写出结果）；（2）在图4中探究，时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（在图4上画图并直接写出结果）；（3）猜想：当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为____________（用含n的代数式表示）；（4）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）． 课后作业【作业1】 如图，已知在正方形ABCD中，E为DC的中点，连接BE，作CF⊥BE于P，交AD于F点，求证：F是AD的中点．【作业2】 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C是直角，直线NM过点C，BP⊥MN于P，AQ⊥MN于Q，，，求PQ的长． 【作业3】 如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作∥，作BM⊥于M，DN⊥于N，直线MB、ND分别交于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．【作业4】 如图，点、、、分别是正方形ABCD四条边上的点，并且，求证：与互相垂直且相等．专心---专注---专业。