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1、湖南省湘潭市湘乡虞塘学区赤石中学2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，则的值(A)恒为正数 (B)恒为负数 (C)恒为0 (D)可正可负 参考答案：A2. （5分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）y=f（|x|）；y=f（x）；y=xf（x）；y=f（x）+x A B C D 参考答案：D【考点】： 函数奇偶性的判断【专题】： 计算题【分析】： 由奇函数的定义：f（x）=f（x）逐个验证
2、即可解：由奇函数的定义：f（x）=f（x）验证f（|x|）=f（|x|），故为偶函数f（x）=f（x）=f（x），为奇函数xf（x）=x?f（x）=xf（x），为偶函数f（x）+（x）=f（x）+x，为奇函数可知正确故选D【点评】： 题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题3. 已知向量，且，则实数=（ ）A. B. 0 C. 3 D. 参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算 F3 【答案解析】C 解析：=（2k3，6），（23），（23）?=2（2k3）6=0，解得k=3故选：C【思路点拨】（23），可得（23）?=0，解出即可4. 已知函数f（x）=x22x+1+alnx有
3、两个极值点x1，x2，且x1x2，则实数a的取值范围为( )ABCD参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】导数的综合应用【分析】对f（x）求导数，f（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，由判别式以及根与系数的关系求出a的取值范围【解答】解：由题意，f（x）=x22x+1+alnx的定义域为（0，+），f（x）=2x2+=；f（x）有两个极值点x1，x2，f（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，2x22x+a=0的判别式=48a0，解得a；方程的两根为x1=，x2=；x1+x2=1，x1?x2=0，a0；综上，a的取值范围为（0，）故选：B【点评】本题考查了利用函数的性质求参数
4、取值，考查转化思想的应用，是容易出错的题目5. 将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，该几何体的左视图为（ ）参考答案：B6. （07年全国卷文）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A36种 B48种 C96种 D192种参考答案：答案：C解析：甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C。7. 已知函数f（x）=logax（a0且a1）满足，则的解是( )A0x1Bx1Cx0Dx1参考答案：D【考点】对数函数的单调性与特殊点 【专题】计算题【分析】先由条件，得
5、到logaloga从而求出a的取值范围，利用对数函数的单调性与特殊点化简不等式为整式不等式即可求解【解答】解：满足，logaloga?loga2loga3?0a1，则?x1故选D【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的单调性与特殊点、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于基础题8. 若复数满足为虚数单位），则（ ）A B3 C4 D5参考答案：D9. 等差数列an的前n项和为Sn，若a4，a10是方程的两根，则 （）A. 21B. 24C. 25D. 26参考答案：D【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系，得到，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求解.【详解】因
6、为是方程的两根，所以，又由，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10. 若，则sina( ) A B C. D参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设为常数，函数，若在上是增函数，则的取值范围是_.参考答案：略12. 已知函数，若，都有，则实数最小值是 参考答案：15. 当时，有如下表达式： 两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： 参考答案：14. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间
7、上单调递增，若实数满足，则实数的取值范围为参考答案： 15. 已知数列：，那么数列=的前项和=_;参考答案：;16. 若函数且，则_.参考答案：1【分析】首先根据两个函数值求，再求和.【详解】根据条件可知，解得：， 即 ， 故填：1.【点睛】本题考查分段函数求值，意在考查基本的计算能力，属于简单题型.15.在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_.参考答案：1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且.（）求角B的大小；（）如果，求ABC的面积.参考答案：（）；（）.【分析】
8、（）由得出，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得，结合的范围可得出角的值；（）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积.【详解】（），.化简得：，又，；（）由余弦定理得，整理得，解之得：，.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.19. 如图，三棱锥D-ABC中，ABC是正三角形，（1）证明：；（2）若，求点C到平面ABD的距离参考答案：（1）证明见解析；（2）（1）取中点，连，是正三角形，在中，平面，（2）正中，中，中，由（1）证得：平面，又为中点，设到平面的距离为，20. （
9、12分）如图，直角三角形ABC中，B，AB1，BC点M,N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合)，将AMN沿MN翻折，AMN变为MN，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设AMN(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值 参考答案：解：（1）设，则在RtMB中， 点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，6分（2）在AMN中，ANM,令， 当且仅当，时，有最大值，时，有最小值.12分略21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB/CD，AB=AD=2CD=2，ADP为等边三角形(1)当PB长为多少时，平面PAD平面ABCD?并说明理
10、由；(2)若二面角大小为150，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值参考答案：（1）当时，平面平面，详见解析（2）【分析】(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得,利用直角三角形知识可得的长；(2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【详解】解：（1）当时，平面平面， 证明如下：在中，因为，所以， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）分别取线段的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，为的中点，所以,又，所以，故为二面角的平面角，所以， 如图，分别以的方向以及垂直于平面向上的方向作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，所以，.可得， 设
11、为平面的一个法向量，则有，即，令，可得， 设与平面所成角为，则有所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查平面和平面垂直的性质及线面角的求解，侧重考查逻辑推理，直观想象和数学运算的核心素养.22. （12分） 函数yf（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的xR,均有f（x4）f（x）成立，当x（0,2）时，f（x）x22x1 （1）当x4k2,4k2（kZ）时，求函数f（x）的表达式； （2）求不等式f（x）的解集参考答案：解析：（1）当x0时，f（0）f（0）,f（0）0 1分当x2,0时，x（0,2）,f（x）f（x）（x22x1）x22x1 3分由f（x4）f（x）,知f（x）为周期函数，且周期T4 4分当x4k2,4k（kZ）时，x4k2,0,f（x）f（x4k）（x4k）22（x4k）1 5分当x（4k,4k2）（kZ）时，x4k（0,2）,f（x）f（x4k）（x4k）22（x4k）1 6分故当x4k2,4k2（kZ）时，f（x）的表达式为f（x） 7分（2）当x2，2时，由f（x）得或解得1 10分f（x）是以4为周期的周期函数，f（x）的解集为|x|4k1| 12分
