精选优质文档-----倾情为你奉上第十四章 模糊数学方法建模在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题14.1 模糊数学的基本概念14.1.1 模糊集与隶属函数1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果是论域 ，则的所有子集组成的集合称之为的幂集，记作在此，总是假设问题的论域是非空的为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集对于论域的每一个元素和某一个子集，有或，二者有且仅有一个成立于是，对于子集定义映射即则称之为集合的特征函数，集合可以由特征函数唯一确定所谓论域上的模糊集是指：对于任意总以某个程度属于，而不能用或描述若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数定义14.1 设是一个论域，如果给定了一个映射则就确定了一个模糊集，其映射称为模糊集的隶属函数，称为对模糊集的隶属度定义14.1表明，论域上的模糊集由隶属函数来表征，的取值范围为闭区间，的大小反映了对模糊集的从属程度，值接近于1，表示从属的程度很高，值接近于0，表示从属的程度很低，使的点称为模糊集的过渡点当的值域为时，退化为普通集的特征函数，模糊集蜕变为普通集，所以模糊集是普通集概念的推广对于一个特定论域可以有多个不同的模糊集，记上的模糊集的全体为，即，则就是论域上的模糊幂集，显然是一个普通集，且2.模糊集的表示法当论域为有限集时，若是上的任一模糊集，其隶属度为，通常有如下三种表示方法：1）Zadeh表示法：在论域中，的元素集称为模糊集合的支集。
2）序偶表示法：将论域中的元素与其隶属度构成序偶来表示此种表示方法隶属度为0的项可不写入3）向量表示法：在向量表示法中，隶属度为0的项不能省略当论域为无限集时，则上的模糊集可以表示为3.模糊集的运算模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律定义14.2 设模糊集，其隶属函数为1）若对任意，有，则称包含，记；2）若且，则称与相等，记为定义14.3 设模糊集，其隶属函数为，则称分别为与的并集与交集；称为的补集或余集，它们的隶属函数分别为其中分别表示取大运算与取小运算，称其为Zadeh算子并且，并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算14.1.2 隶属函数的确定方法正确地确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的基础隶属函数是对模糊概念的定量描述应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题隶属函数的确定过程，本质上应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出下面仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。
不同的方法结果会不同，但隶属函数建立是否适合标准，要用实际使用的效果来检验1. 模糊统计方法模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是在模糊统计试验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定，所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：1）论域2）中的一个固定元素3）中的一个随机变动的集合（普通集）4）中的一个以作为弹性边界的模糊集，对的变动起着制约作用其中或，致使对的隶属关系是不确定的假设做次模糊统计试验，则可计算出对的隶属频率事实上，当不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为对的隶属度，即2. 例证法例证法是Zadeh在1972年提出的，主要思想是从已知有限个的值来估计论域上的模糊子集的隶属函数3. 指派方法指派方法是一种主观方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集的隶属函数如果模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数若以实数域R为论域，称隶属函数为模糊分布实际中，根据研究对象的描述来选择适当的模糊分布偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和”、“中年”等处于中间的模糊现象。
但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数常用的模糊分布见下表：偏小型中间型偏大型矩形分布梯形分布正态分布次抛物型分布型分布其中其中其中柯西型分布其中其中为偶数其中4. 其他方法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义来确定例如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度如果论域表示机器设备，在上定义模糊集=“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为的隶属度如果表示产品，在上定义模糊集=“质量稳定”，可以用“正品率”作为的隶属度如果表示家庭，在上定义模糊集=“贫困家庭”，则可以用Engel系数=（食品消费）/（总消费）作为的隶属度14.2 模糊关系与模糊矩阵14.2.1模糊关系与模糊矩阵的概念模糊关系是普通关系的推广，它描述元素之间关联程度的多少定义14.4 设论域，称的一个模糊子集为从到的模糊关系，记为，其隶属函数为映射并称隶属度为关于模糊关系的相关程度由于模糊关系就是直积的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质 对于有限论域，，则到的模糊关系可用阶模糊矩阵表示，即其中表示对模糊关系的相关程度。
定义14.5 设矩阵，且则称矩阵为模糊矩阵 若，则模糊矩阵变成布尔（Boole）矩阵14.2.2 模糊等价关系与模糊相似关系定义14.6 若模糊关系满足1)自反性： 2)对称性：3)传递性； （即）则称是上的一个模糊等价关系其中隶属度表示的相关程度当论域为有限论域时，上的模糊等价关系可表示为阶模糊等价矩阵．定义14.7 设论域，模糊矩阵，为单位矩阵，若满足：1)自反性： （即） 2)对称性：（即）3)传递性； （即）则称为模糊等价矩阵 定义14.8 设论域，模糊矩阵，为单位矩阵，若满足：1)自反性： （即） 2)对称性：（即）则称为模糊相似矩阵14.2.3 截矩阵与传递矩阵定义14.9 设为模糊矩阵，对任意的，1）如果则称为的截矩阵2）如果则称为的强截矩阵 显然，截矩阵为布尔矩阵定义14.10 设是阶模糊矩阵，如果满足（即）则称为模糊传递矩阵将包含的最小的模糊传递矩阵称为的传递闭包，记为14.3 模糊聚类分析方法在科学技术、经济管理中常常需要按一定的标准(相似程度或亲疏关系)进行分类例如，根据生物的某些性状，可对生物分类；根据土壤的性质，可对土壤分类等等。
对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法由于科学技术、经济管理中的分类往往具有模糊性，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际在进行多指标评价时，同类指标的评价效果基本上是等价的，因此，可以通过对同类指标的选择，达到指标筛选的目的其基本思想是：首先根据各指标之间相似程度，构造评价指标的模糊相似矩阵，然后通过平方法求传递闭包，得到模糊等价矩阵，以此为依据进行聚类模糊聚类的步骤及其关键算法：设论域为待分类的指标集，用维向量描述样本，也就是说每个指标由个分量组成，即，故原始数据矩阵形式如公式(1)所示 （1）具体的聚类方法按下列步骤进行：14.3.1 数据标准化不同的数据具有不同的量纲，为了使有不同量纲的量进行比较，对数据进行无量纲化处理，而且根据模糊矩阵的要求，需要将数据压缩在区间上数据标准化的具体算法包括两个步骤：1、平移·标准差变换 （2）其中变换后的每个变量的均值为0，标准差为1，实现了数据的无量纲化，但是这样还不能保证都在区间上2、平移·极差变换 （3） 其中.显然所有的都在区间上，同时也消除了量纲的影响。
14.3.2 标定（建立模糊相似矩阵)对论域而言，和的关系可用来描述建立模糊相似矩阵的方法有很多，如距离法、相关系数法、主观打分法等现采用相关系数法建立模糊相似矩阵，通过计算指标之间的相关系数，以相关系数的绝对值作为模糊相似矩阵的元素，见式（4） （4）其中.矩阵形式如式（5）所示： （5） 由（4）式可知，，故该矩阵满足自反性和对称性，满足模糊相似矩阵的要求14.3.3 聚类采用基于等价矩阵的聚类方法首先通过平方法求传递闭包得到模糊等价矩阵具体算法是：从模糊相似矩阵出发，依次求平方 （6） 当第一次出现时，就是传递闭包，也就是模糊等价矩阵方阵的自乘运算是用模糊集合运算中的交和并取代通常矩阵乘法中的乘积与求和操作 （7） 等价矩阵建立之后，具体的聚类过程就是从大到小依次赋给不同的值，通过计算截矩阵的方法获得不同的分类在具体的分类选择中，通常根据实际需要选择值，换言之就是根据特定的值选择分类[1]。
14.4 模糊模型识别方法己知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别这里主要介绍模糊模型识别的两种基本方法——最大隶属原则和择近原则模型识别在实际问题中是普遍存在的例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它届于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码。