《挑战中考数学压轴试题复习第十版因动点产生的等腰三角形问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《挑战中考数学压轴试题复习第十版因动点产生的等腰三角形问题（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1已知线段AB5 厘米， 以线段 AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2已知线段AB6 厘米， 以线段 AB 为底边的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果 ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC， BABC， CACB 三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何
2、法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果 ABC 的 A（的余弦值）是确定的，夹A 的两边AB 和 AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法如图 1， 如果 AB AC， 直接列方程； 如图 2， 如果 BABC， 那么1cos2ACABA；如图 3，如果 CACB，那么1cos2ABACA代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来图 1 图 2 图 3 例 9 2014年长沙市中考第26 题如图 1，抛物线yax2bxc（
3、a、b、c 是常数， a0）的对称轴为y 轴，且经过 (0,0)和1(,)16a两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的 P 总经过定点A(0, 2)（1）求 a、 b、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（3）设 P 与 x 轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点， 当 AMN 为等腰三角形时，求圆心 P的纵坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 长沙 26” ，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来P在 x 轴上截得的弦长MN4 是定值2等腰三
4、角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MAMN和 NANM 时，点 P 的纵坐标是相等的图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以 yax2所以 b0，c0将1(,)16a代入 yax2，得2116a 解得14a（舍去了负值） （2）抛物线的解析式为214yx ，设点 P 的坐标为21( ,)4xx已知 A(0, 2)，所以222411(2)4416PAxxx214x 而圆心 P 到 x 轴的距离为214x ，所以半径P A圆心 P 到 x 轴的距离所以在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交（3）如图 2，设 MN 的中点为H，那么 PH 垂直平分MN在
5、RtPMH 中，2241416PMPAx，22411()416PHxx ，所以 MH2 4所以 MH2因此 MN4，为定值等腰 AMN 存在三种情况：如图 3，当 AMAN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点P 的纵坐标为0图 2 图 3 如图 4，当 MAMN 时，在 RtAOM 中， OA2，AM 4，所以 OM23 此时 xOH 232 所以点P 的纵坐标为22211(2 32)(31)42344x如图 5，当 NANM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为42 3 图 4 图 5 如图 6，当 NANM4 时，在 RtAON 中， OA2，AN4，所以 ON23 此时 xOH 232
6、 所以点 P 的纵坐标为22211(2 32)(31)42344x如图 7，当 MNMA4 时，根据对称性，点P 的纵坐标也为42 3 图 6 图 7 考点伸展如果点 P 在抛物线214yx 上运动，以点P 为圆心的 P 总经过定点B(0, 1)，那么在点P 运动的过程中，P 始终与直线y 1 相切这是因为：设点 P 的坐标为21( ,)4xx已知 B(0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PBxxxx而圆心 P 到直线 y 1 的距离也为2114x， 所以半径PB圆心 P 到直线 y 1 的距离所以在点P 运动的过程中，P 始终与直线y 1 相切例 10 2014年湖南省张家
7、界市中考第25 题如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线yax2bxc（a0）过 O、B、C 三点， B、 C 坐标分别为 (10, 0)和1824(,)55，以 OB 为直径的 A 经过 C 点，直线l 垂直x 轴于 B 点（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点 M 是 A 上一动点（不同于O、B） ，过点 M 作 A 的切线， 交 y 轴于点 E， 交直线 l 于点 F，设线段 ME 长为 m，MF 长为 n，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点 P 从 O 出发， 以每秒 1 个单位的速度向点 B 作直线运动，点Q 同时从 B 出发，以
8、相同速度向点 C 作直线运动， 经过 t（0t8）秒时恰好使BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值图图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 张家界 25” ，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，EAF保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高拖动点Q 在 BC 上运动，可以体验到，BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形思路点拨1从直线BC 的解析式可以得到OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（ 3）题连结AE、 AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高4第（ 4）题的 PBQ 中， B 是确定的，夹B 的两条边可以用含t 的式子表示
9、分三种情况讨论等腰三角形图文解析（1）直线 BC 的解析式为31542yx（2）因为抛物线与x 轴交于 O、B(10, 0)两点，设yax(x10)代入点 C1824(,)55，得241832()555a解得524a所以2255255125(10)(5)2424122424yx xxxx抛物线的顶点为125(5,)24（3）如图 2，因为 EF 切 A 于 M，所以 AMEF由 AE AE，AOAM，可得 RtAOERtAME所以 1 2同理 3 4于是可得 EAF 90所以 5 1由 tan 5tan1，得MAMEMFMA所以 ME MFMA2，即 mn25图 2 （4）在 BPQ 中， c
10、osB45，BP10t，BQt分三种情况讨论等腰三角形BPQ：如图 3，当 BPBQ 时， 10tt解得 t5如图 4，当 PBPQ 时，1cos2BQBPB解方程14(10)25tt，得8013t如图 5，当 QBQP 时，1cos2BPBQB解方程14(10)25tt，得5013t图 3 图 4 图 5 考点伸展在第（ 3）题条件下，以EF 为直径的 G 与 x 轴相切于点A如图 6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线， 也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以G 与 x 轴相切于点A图 6 例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26 题
11、在平面直角坐标系中，抛物线 yx2(mn)xmn （mn） 与 x 轴相交于A、 B 两点（点A 位于点 B 的右侧），与y 轴相交于点C（1）若 m2， n1，求 A、B 两点的坐标；（2）若 A、B 两点分别位于y 轴的两侧， C 点坐标是 (0,1)，求 ACB 的大小；（3）若 m2， ABC 是等腰三角形，求n 的值动感体验请打开几何画板文件名“14 邵阳 26” ，点击屏幕左下方的按钮（2） ，拖动点A 在 x 轴正半轴上运动，可以体验到，ABC 保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（3） ，拖动点 B 在 x 轴上运动，观察ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到
12、，等腰三角形ABC 有 4 种情况思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n 表示点 A、B、C 的坐标2第（ 2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（ 3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析（1）由 y x2(mn)x mn(xm)(xn)，且 mn，点 A 位于点 B 的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)若 m2，n1，那么 A(2, 0)，B(1, 0)（2）如图 1，由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是 (0,1)，mn 1，OC1若 A、B 两点分别位于y 轴的两侧，那么OA OBm(n)
13、 mn1所以 OC2OA OB所以OCOBOAOC所以 tan1tan2所以 1 2又因为 1 与 3 互余，所以2 与 3 互余所以 ACB 90图 1 图 2 图 3 （3）在 ABC 中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2(n2)2，BC25n2，AC244n2当 ABAC 时，解方程 (n2)24 4n2，得43n（如图 2）当 CACB 时，解方程44n25n2，得 n 2（如图 3），或 n2（A、B 重合，舍去）当 BABC 时，解方程 (n2)25n2，得512n（如图 4），或512n（如
14、图 5）图 4 图 5 考点伸展第（ 2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是 (0,1)，mn 1由 A(m, 0)， B(n, 0)，C(0,1)，得 AB2 (mn)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21所以 AB2BC2AC2于是得到RtABC， ACB90第（ 3）题在讨论等腰三角形ABC 时，对于 CACB 的情况，此时A、B 两点关于y 轴对称，可以直接写出B(2, 0)，n 2例 12 2014年湖南省娄底市中考第27 题如图 1，在 ABC 中， ACB90 ，AC 4cm， BC3cm如果点P 由点 B 出发沿 BA方向
15、向点 A 匀速运动，同时点Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s连结 PQ，设运动时间为t（s） （0t4） ，解答下列问题：（1）设 APQ 的面积为S，当 t 为何值时， S取得最大值？ S的最大值是多少？（2）如图 2，连结 PC，将 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQP C为菱形时，求t 的值；（3）当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“14 娄底 27” ，拖动点Q 在 AC 上运动，可以体验到，当点P运动到 AB 的中点时， APQ 的面积最大，等腰三角形APQ 存在三种情
16、况还可以体验到，当 QC2HC 时，四边形PQPC 是菱形思路点拨1在 APQ 中， A 是确定的，夹A 的两条边可以用含t 的式子表示2四边形PQP C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，图文解析（1）在 RtABC 中， AC4，BC3，所以 AB5，sinA35，cosA45作 QDAB 于 D，那么 QDAQ sinA35t所以 SSAPQ12AP QD13(5)25tt23(5 )10tt23515() +1028t当52t时， S取得最大值，最大值为158（2）设 PP与 AC 交于点 H，那么 PP QC，AHAPcosA4(5)5t如果四边形PQPC 为菱形，那么PQPC所以 QC2HC解方程4424(5)5tt，得2013t图 3 图 4 （3）等腰三角形APQ 存在三种情况：如图 5，当 APAQ 时， 5tt解得52t如图 6，当 P APQ 时，1cos2AQAPA解方程14(5)25tt，得4013t如图 7，当 QAQP 时，1cos2APAQA解方程14(5)25tt，得2513t图 5 图 6 图 7 考点伸展在本题情境下，如果点Q 是 P
