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1、2020-2021学年广西壮族自治区玉林市博学中学高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为( )A B C D 参考答案：B2. 若函数f（x）=2sin（x）（0），且f（2+x）=f（2x），则|的最小值为（）ABCD参考答案：A【考点】正弦函数的图象【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由题意可得函数关于x=2对称，可得2=k+，kZ，求得的解析式
2、，可得|的最小值【解答】解：由题意，函数关于x=2对称，可得2=k+，kZ，求得=k+，则k=1时，|的最小值为，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题3. （5分）若直线的倾斜角为120，则直线的斜率为（）ABCD参考答案：B考点：直线的斜率 专题：计算题分析：根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可解答：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k=tan120=tan（18060）=tan60=故选B点评：此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊
3、角的三角函数值进行化简求值4. 3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）参考答案：D5. a，b，c分别为锐角ABC内角A，B，C的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ）A. (1,3)B. C. D. (1,2) 参考答案：D【分析】由，所以，利用余弦定理，得，再由正弦定理，得，求得，结合锐角，求得，根据，即可求解的取值范围.【详解】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，结合锐角，则，所以，由，又因为，所以，即的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒
4、等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6. 如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是( ) A . B. C . D. 参考答案：B略7. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）A B C D 参考答案：C8. 已知函数f（x）=sin（2）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴
5、的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）的值为 A B C1 D2 参考答案：C9. 已知实数等比数列的前n项和为，则下列结论一定成立的是（ ）A若，则B若，则C若，则 D若，则参考答案：设，因为所以A，B不成立，对于C，当时，因为 与同号，所以，选项C正确，对于D，取数列：-1，1，-1，1，不满足条件，D错故选C10. 已知i是虚数单位，则复数的虚部等于 （ ）A. B. C. D. 1参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 九章算术中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋
6、在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口CD深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是 （注：1尺=10寸）参考答案：26寸【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由勾股定理OA2=OD2+AD2，代入数据即可求得【解答】解：ABCD，AD=BD，AB=10，AD=5，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，OA2=（OA1）2+52，OA=13，CD=2AO=26故答案为：26寸12. 参考答案：充要略13. 设x，y满足约束条件，则的最小值为 参考答案：-3画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点(1,1)处取得最小值为3.14. 一个
7、直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 参考答案：如图，不妨设N在B处，则有 由 该直角三角形斜边 故答案为 .15. 把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”求= .参考答案：3/7略16. 已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，在抛物线上，且4则的最小值是.参考答案：17. 定义一种新运算“”：，其运算原理如图3的程序框图所示，则=_.参考答案：-3略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求
8、实数的值； (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.参考答案：解:(1) 1分时,取得极值, 2分故解得经检验符合题意. 3分（2）由知 由,得 令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根. 当时,于是在上单调递增; 当时,于是在上单调递减.6分依题意有, 解得, 8分(3) 的定义域为,由(1)知,令得,或(舍去), 当时, ,单调递增;当时, ,单调递减. 为在上的最大值. ,故(当且仅当时,等号成立) 对任意正整数,取得, 10分. 故. 12分（方法二）数学归纳法证明：当时，左边，右边，显然，不
9、等式成立.假设时，成立，则时，有.做差比较：构建函数，则，单调递减，.取，即，亦即，故时，有，不等式成立.综上可知，对任意的正整数,不等式都成立. -12分19. 如图，在三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PCA=90，E，F分别为AP，AC的中点，且PA=4，（）求证：AC平面BEF；（）求二面角ABPC的余弦值参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：常规题型；空间向量及应用分析：（1）充分利用三角形中的性质关系得出直角（2）合理建系求出点的坐标解答：解：（）PA=4，AC=2，PCA=90PAC=60又AE=AC=2，AEC是边长为2的等边三
10、角形F为AC的中点，ACEF又ABC是边长为2的等边三角形，F为AC的中点，ACBF又EFBF=F，AC平面BEF（）如图，取AB中点F，BF中点G，联结EF，EG由（）可知，所以EGBF，所以EG平面ABC如图建立空间直角坐标系Gxyz，则.，所以，所以平面ABP的法向量为所以，所以平面CBP的法向量为所以平面ABP即平面ABP与平面CBP所成角的余弦值为点评：本题考查线面垂直的证明和二面角余弦值的求法，属中档题属于2015届高考常考题型20. 一个口袋中有个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖()试用含的代数
11、式表示一次摸球中奖的概率；()若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；()记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.参考答案：()一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；一次摸球中奖的概率.- 4分()若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是. - 8分()设一次摸球中奖的概率是，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是， ，在是增函数，在是减函数，当时，取最大值. -10分由.时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大-12分【解析】略21. （本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，且, ，点G是EF的
12、中点.（）证明：平面；（）若直线BF与平面所成角的正弦值为，求的长；（）判断线段上是否存在一点，使/平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 参考答案：（）详见解析（） 或 .（）（）解：因为平面，所以两两垂直. 以A为原 即 ， 解得或. 所以 或 . 9分考点：面面垂直性质定理，利用空间向量求线面角，线面平行性质定理22. 已知是各项均为正数的等差数列，公差为2对任意的，是和的等比中项，（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求数列的通项公式参考答案：（1）证明见解析；（2）试题解析：（1）证明：，（常数），数列是等差数列（2）解：，则，解得，考点：等差数列的判断，等差数列的通项公式【名师点睛】等差数列的判断方法在解答题中常用：（1）定义法，对于任意的，证明为同一常数；（2）等差中项法，证明（）；在选择填空题中还可用：（3）通项公式法：证（为常数）对任意的正整数成立；（4）前项和公式法：证（是常数）对任意的正整数成立
