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1、福建省福州市官坂中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是（）上是增函数，那么实数的取值范围是（ ）A(1,+) B C D(1,3)参考答案：C2. 在中，是边上的高，则的值等于（ ）A0B C4D参考答案：B略3. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则( ) 参考答案：B略4. 已知命题p：?xR，9x26x10；命题q：?xR，sinxcosx，则（ ）Ap是假命题 Bq是真命题Cpq是真命题 Dpq是真命题参考答案：C略5. 如图，在A、
2、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有A10 B12 C13 D15参考答案：C6. 函数的图象大致是 （ ）参考答案：C7. 已知在函数（）的图象上有一点，该函数的图象与 x轴、直线x1及 xt围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）参考答案：B由题意知，当时，面积原来越大，但增长的速度越来越慢.当时，S的增长会越来越快，故函数S图象在轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，选B8. 已知函数是奇函数，则的值等于A. B. C D. 4参考答案：B由函数是奇函数，则，且，所以。9. （5分）复数的虚部是（）
3、A0B5iC1Di参考答案：C复数=i所以复数的虚部是：1故选C10. 已知向量 A3 B2 Cl Dl参考答案：A因为垂直，所以有，即，所以，解得，选A.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x，y满足约束条件，时取得最大值，则a的取值范围是 参考答案：12. 已知x+y=2（x0，y0），则x2+y2+4的最大值为 参考答案：6【考点】基本不等式【分析】利用配方法，结合二次函数的图象与性质，即可求出的最大值【解答】解：x0，y0，x+y=2，22，0xy1，当且仅当x=y=1时取“=”；=（x+y）22xy+4=222+2=626，即的最大值是6故答案为：6【点
4、评】本题考查了基本不等式的应用问题，是基础题目13. 已知，sin()= sin则cos=_.参考答案：因为，所以，所以，即.又，所以，即.又.14. 已知数列是等差数列，则过点和点的直线的倾斜角是 （用反三角函数表示结果）参考答案：15. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中为等边三角形，,则该球的体积是 参考答案：16. 已知(a，bR，i为虚数单位)，则ab 参考答案：17. 已知菱形ABCD中，对角线AC，BD1，P是AD边上的动点（包括端点），则的取值范围为_参考答案：【分析】由ACBD得，以对角线BD，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，设P（x，y），.由可得，代入，根据二次函数的性
5、质可求取值范围.【详解】由ACBD得，以对角线BD，AC分别为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，AC，BD1， P是AD边上的动点，设P（x，y）， 根据二次函数的性质可知，当x时，最小值为.当x时，最大值为.所以，的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于中档题.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱
6、中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误额概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。（注：，其中为数据的平均数）参考答案：19. （本小题满分12分）已知函数的一系列对应值如下表：xy(I)求的解析式；(II)在中，若，, 求的面积。参考答案：(I)由图表知，周期，解得；2分又由第一关键点，得
7、，解得；4分；所求6分(II) 在中，得，由，则，所以或，解得或.8分由余弦定理得，而,；当时，得，解得,此时；10分当时，得，解得,此时；综上，所求的面积为或12分20. 已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足且（1）求角B；（2）求ABC周长L的最大值参考答案：（1）（2）9【分析】（1）用正弦定理将已知等式化为正弦，余弦角的关系，化简整理可得角B。（2）三角形周长L=a+b+c，已知b=3，根据余弦定理建立a，b，c三边的关系，由不等式性质可得周长最大值。【详解】解：（1），由正弦定理得，即，又，所以，又，得（2）在中，由余弦定理得，所以，即，所以，当时，的周长L最大值为
8、9【点睛】本题考查正，余弦定理和用均值不等式求最大值，是常见考点。21. （本小题满分12分）设是正项数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在等比数列，使对一切正整数都成立？并证明你的结论（3）设，且数列的前项和为，试比较与的大小参考答案：解：（1）得，相减并整理为又由于，则，故是等差数列，故 4分（2）当时，可解得，猜想使成立 下面证明恒成立令 可得 8分（3）则，故 14分略22. (本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题(满分12分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊，记为，已知甲、乙两组的平均成绩相同.（1）求的值，并判断哪组学生成绩
9、更稳定;（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率.参考答案：（1） 2分 ，又 4分 甲组成绩比乙组稳定。 6分 （2）记甲组4名同学为：A1，A2， A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4；分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,B4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B3)，(A3,B4)，(A4,B1)，(A4,B2)，(A4,B3)，(A4,B4)，共16个基本事件，其中得分之和低于20分的共6个基本事件， 10分 得分之和低于20分的概率是：. 12分
