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1、2019-2020学年河南省南阳市蒲山中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）ABC1D参考答案：B【考点】复数求模【分析】先求出复数z，然后利用求模公式可得答案【解答】解：由z（1+i）=i得z=+i，则则|z|=，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模，属基础题2. 已知函数, 则的值为 （ ）A B. C. D.参考答案：B3. 设是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，若在区间内关于的方程（1）恰有3个不同的实
2、根，则的取值范围是（ ） A.(1,2) B. C. D.参考答案：D略4. 在内随机地取一个数k，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为 （ ） （A） （B） （C） （D） 参考答案：A若直线与圆有公共点，则 因此概率为 ，选A5. 已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A（，B（，C（，）D（，）参考答案：D【考点】7C：简单线性规划【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值即可【解答】解：由已知得到可行域如图：则的几何意义表示区域内的点与（0，1）连接的直线斜率，所以与A连接的直线斜率最大，与O连接直线斜率最小，故则的取值范围为（，）；故选D【点评】本题考查了简单线
3、性规划问题；正确画出可行域是前提，利用目标函数的几何意义求最值是关键，利用了数形结合的思想6. 已知点Q（5，4），若动点P（x，y）满足，则PQ的最小值为（）ABC5D以上都不对参考答案：C【考点】简单线性规划【专题】数形结合；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出P点的区域，求出BQ连线的斜率，求得的斜率小于1，可知过Q点作直线x+y2=0的垂线，垂足在直线上B的下方，由此可知当P在B点处PQ的距离最小【解答】解：由约束条件足，得P（x，y）所在区域如图，联立，得B（1，1），过Q点与直线x+y2=0垂直的直线的斜率为1，过Q点作直线x+y2=0的垂线，垂足在直线上B的下方，可行域内的点
4、P为点B时PQ的值最小，最小值为故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是找出使PQ值最小的点，是中档题7. 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, ( ) 参考答案：B略8. 设为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述11313关于的极小值试问下列（ ）选项是正确的A B C D不存在 参考答案：C知识点：方程的根与函数的关系；函数的极值.解析 ：解：方程式的相异实根数等价于函数与直线两图形的交点数依题意可得两图形的略图有以下两种情形(1)当的最高次项系数为正时 (2) 当的最高次项系数为负时因为极小值点位于两水平线与之间所以其坐
5、标（即极小值）的范围为故选C思路点拨：方程式的相异实根数等价于函数与直线的交点数，然后画图形即可.9. 已知函数（其中）的部分图象如下图所示，为了得到的图象，则只需将的图象A向右平移个长度单位 B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位 D向左平移个长度单位 参考答案：A略10. 已知集合，则 （ ）A B 参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为 参考答案： 12. 函数的图象与曲线、直线围成的面积为 参考答案：略13. 给出下列命题：若是奇函数，则的图像关于轴对称；若函数对任意满足，则8是函数的一个周期；若，则；若在上是增函数，则.其中正确命题的序
6、号是 .参考答案：14. 矩形中，平面，分别是，的中点，则四棱锥的外接球表面积为 参考答案：15. 在ABC中，若cos2Acos2Bcos2C1，sinB，则(tan2A2)sin2C的最小值为_参考答案：【分析】由sinB，得B或，按B或分类讨论，由二倍角的余弦公式化简，利用均值不等式求最值即可.【详解】在ABC中，由sinB，所以B或，得cos2B，当B，则C，所以，cos2Acos2C，即cos2Acos2（），化简得：，因为，所以sin2A0，即不成立.当B，则C，(tan2A2)sin2C当，即时取等号故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数关系和二倍角的余弦公式的应用，也考查了均
7、值不等式求最值和分类讨论思想，属于中档题.16. 设是函数，的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为 参考答案：略17. 设的内角的对边分别为,且,则 ,的面积 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（1）把曲线C的极坐标极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得的线段长参考答案：解：（1）化简曲线C的极坐标方程为直角坐标系下的标准方程为：x2+y2+xy4=0，即 +=5，表示以C（，）为圆心，半径等于的圆直线l的参数方程为，消去参数t，化为直角坐标方程为 x+y+1=0（2）
8、先求得圆心C（，）到直线x+y+1=0的距离为d=，故所求的弦长为 2=3略19. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率（）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（）用分
9、层抽样的方法共抽取10天，则空气质量指数在（0，50，（50，100，已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4000元若在（）的条件下，从空气质量指数在（0，150的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为4000元的概率参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图【分析】（I）利用频率直方图的性质可得频率（0.1+0.2），进而得出全年空气质量优良的天数为（）利用分层抽样的方法即可得出（）设空气质量指数在（0，50的一天为A，空气质量指数在（50，10
10、0的两天为b、c，空气质量指数在，（A2），（A3），（bc）利用古典概率计算公式即可得出【解答】解：（）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为（0.1+0.2）365=0.3365=109.5110（天） （）在（0，50，（50，100，设空气质量指数在（0，50的一天为A，空气质量指数在（50，100的两天为b、c，空气质量指数在，（Ac），（A1），（A2），（A3），（bc），（b1），（b2），（b3），（c1），（c2），（c3），（12），（13），（23）共15种其中这两天的净化空气总费用为4000元的可能结果为（A1），（A2），（A3），（bc
11、）P（这两天的净化空气总费用为4000元）=20. （本题满分12分） 已知函数，（）.（）若有最值，求实数的取值范围；（）当时，若存在、，使得曲线在与处的切线互相平行，求证：.参考答案：（） ，由知，当时，在上递增，无最值；当时，的两根均非正，因此，在上递增，无最值；当时，有一正根，在上递减，在上递增；此时，有最小值；所以，实数的范围为. 7分（）证明：依题意：，由于，且，则有. 12分21. 如图，在三棱锥中，.（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（）如图，取的中点，连结，.因为为正三角形，所以；因为，所以.又，平面，所以平面.因为平面，所以.（）解法一：过点作的垂线，垂
12、足为，连结.因为平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，故平面.所以直线与平面所成角为.在中，由余弦定理得，所以.所以，.又，故，即直线与平面所成角的正弦值为.解法二：如图，以原点，以，为，轴建立空间直角坐标系.可求得，则，.平面的一个法向量为，.设直线与平面所成角为，则.22. 如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和侧视图在右面画出（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面参考答案：（1）如图（2）所求多面体体积 （3）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面 略
