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1、精 品 数 学 课 件2019 届 北 师 大 版 2.2指数运算的性质问题引航引航1.1.指数指数幂的运算性的运算性质有哪些有哪些? ?2.2.在化在化简或求或求值中的运算技巧有哪些中的运算技巧有哪些? ?实数指数数指数幂的运算性的运算性质当当a0,b0a0,b0时, ,对任意任意_m,n_m,n满足以下三条运算性足以下三条运算性质：(1)a(1)am ma an n=_.=_.(2)(a(2)(am m) )n n=_.=_.(3)(ab)(3)(ab)n n=_.=_.实数数a am+nm+na amnmna an nb bn n1.1.判一判：判一判： ( (正确的打正确的打“”“”，
2、错误的打，错误的打“”)”)(1) ( )(1) ( )(2)(2)当当a0a0时，时，a am+nm+n=a=am maan n.( .( ) )(3) ( )(3) ( )2.2.做一做：做一做：( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)当当a0a0时，时， =_.=_.(2)(2)计算计算 =_.=_.(3)(3)计算计算3 34 4337 7=_.=_.【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误. .少了成立条件少了成立条件a0,b0.a0,b0.(2)(2)正确正确.a.am+nm+n=a=am ma an n. .(3)(3)错误错误. .性质性质(a(
3、am m) )n n=a=amnmn在在a0a0的条件下成立的条件下成立, ,而此等式中而此等式中-30.-30.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.(1)2.(1)因为因为所以所以答案：答案：a a2 2(2)(2)当当a0a0时，时，当当a0a0,b0,m,nR.a0,b0,m,nR.(2)(2)幂指数的运算性指数的运算性质可可类比整数指数比整数指数幂的性的性质来来记忆, ,仍然遵仍然遵循：乘相加循：乘相加, ,除相减除相减, ,幂相乘相乘. .(3)(3)运算性运算性质的形式要的形式要记牢牢, ,同同时运算性运算性质可逆用可逆用, ,如：如：a amnmn=(a=(am
4、m) )n n= =(a(an n) )m m(a0).(a0).2.2.有理数指数有理数指数幂运算性运算性质的两个关注点的两个关注点(1)(1)有理数指数有理数指数幂的运算性的运算性质是由整数指数是由整数指数幂的运算性的运算性质推广推广而来的而来的, ,整数指数整数指数幂的运算性的运算性质对于有理数指数于有理数指数幂也同也同样适用适用. .(2)(2)在运算性在运算性质中中, ,特特别要注意要注意幂的底数是正数的的底数是正数的规定定, ,如果改如果改变等式成立的条件等式成立的条件, ,则有可能不成立有可能不成立, ,【知识拓展知识拓展】指数幂运算性质中规定指数幂运算性质中规定a0,b0a0,
5、b0的原因的原因这是由分数指数幂的定义决定的，因为我们规定这是由分数指数幂的定义决定的，因为我们规定a0a0时时表示一个根式，负数的分数指数幂的意义并没有定义，指数幂表示一个根式，负数的分数指数幂的意义并没有定义，指数幂的运算性质不作这样限制的话，就会出现运算上的错误的运算性质不作这样限制的话，就会出现运算上的错误. .例如，例如， 显然这是错误的显然这是错误的. .【微思考微思考】(1)(1)在指数幂的运算性质中，为什么规定底数要大于在指数幂的运算性质中，为什么规定底数要大于0 0？提示：提示：当底数为当底数为0 0时，幂指数为时，幂指数为0 0或负数时幂无意义或负数时幂无意义; ;当底数为
6、负数时，有时不能保证幂有意义，如当底数为负数时，有时不能保证幂有意义，如 无意无意义义, ,故要规定底数大于故要规定底数大于0.0.(2)(2)进行幂的运算时，当式子中既有分数指数幂又有根式时，进行幂的运算时，当式子中既有分数指数幂又有根式时，一般应遵循怎样的原则化简？一般应遵循怎样的原则化简？提示：提示：一般把根式统一化成分数指数幂的形式，再用有理数指一般把根式统一化成分数指数幂的形式，再用有理数指数幂的运算性质化简数幂的运算性质化简. .可总结为：先统一，再运算可总结为：先统一，再运算. .【即时练即时练】(1)(1)计算：计算： =_.=_.(2)(2013(2)(2013宝鸡高一检测宝
7、鸡高一检测) )若若1010x x=4,10=4,10y y=4,=4,则则10102x-y2x-y=_.=_.【解析解析】(1) (1) (2)(2)原式原式=10=102x2x1010-y-y= =答案：答案：(1) (2)4(1) (2)4【题型示范题型示范】类型一类型一 指数幂的化简指数幂的化简【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014榆林高一检测榆林高一检测) )化简化简 (a0,b0)(a0,b0)的结果是的结果是( )( )A.6a B.-a A.6a B.-a C.-9a C.-9a D.9aD.9a(2)(2)化简：化简：【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中
8、各式的系数有不为中各式的系数有不为1 1的如何化简计算？的如何化简计算？2.2.题题(2)(2)中有根式又有幂的运算，应如何化简？中有根式又有幂的运算，应如何化简？【探究提示探究提示】1.1.把系数与字母分别进行乘除化简计算把系数与字母分别进行乘除化简计算. .2.2.有根式又有幂的运算，先把根式化成幂的形式，再利用幂的有根式又有幂的运算，先把根式化成幂的形式，再利用幂的运算性质计算运算性质计算. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选C.C.原式原式= =(2)(2)原式原式= = = = = = = = = =【延伸探究延伸探究】题题(2)(2)添加括号变为添加括号变为 结果如何结果如何?
9、 ? 【解析解析】= = = =【方法技巧方法技巧】1.1.化简结果的一个要求和两个不能化简结果的一个要求和两个不能2.2.分式化简的步骤分式化简的步骤(1)(1)把分式的分子、分母分解因式把分式的分子、分母分解因式, ,可约分的先约分可约分的先约分. .(2)(2)利用分式的基本性质化繁为简利用分式的基本性质化繁为简, ,化异分母为同分母化异分母为同分母. .(3)(3)将适当的几个式子先化简将适当的几个式子先化简, ,各个击破各个击破. .(4)(4)用换元法用换元法, ,使分式简化使分式简化. .【变式训练变式训练】化简：化简：(1)(1)(2)(2)【解析解析】(1)(1)= =(2)
10、(2)= =【补偿训练补偿训练】1.1.计算：计算：(1)(1)(2)(2)2.2.计算计算( (或化简或化简) )下列各式：下列各式：(1)(1)(2)(2)【解析解析】1.(1)1.(1)原式原式= = = = =(2)(2)原式原式= = =2.(1)2.(1)原式原式= = = =(2)(2)原式原式= =类型二类型二 指数幂的运算指数幂的运算【典例典例2 2】(1)(1)求值：求值：(2014(2014咸阳高一检测咸阳高一检测) =_.) =_. =_. =_.(2)(2)计算下列各式的值计算下列各式的值. .(2014(2014重庆高一检测重庆高一检测) )【解题探究解题探究】1.
11、1.题题(1)(1)中分式是代分数，先怎样转化？中分式是代分数，先怎样转化？中各项是否可化为同底数？中各项是否可化为同底数？2.2.题题(2)(2)中含负分数指数幂和小数指数幂，在计算时如何转化中含负分数指数幂和小数指数幂，在计算时如何转化? ?【探究提示探究提示】1.1.中把分式化成假分数，再化成幂的形式中把分式化成假分数，再化成幂的形式. .此题此题中各项可化为底数均为中各项可化为底数均为2 2的式子，再计算的式子，再计算. .2.2.负分数指数幂化为正分数指数幂，小数指数幂化为分数指数负分数指数幂化为正分数指数幂，小数指数幂化为分数指数幂幂. .【自主解答自主解答】(1)(1)原式原式=
12、 =原式原式答案：答案：(2)(2)原式原式= = = =原式原式= = = =2=23-203-20=-14.=-14.【方法技巧方法技巧】1.1.指数幂运算的四原则指数幂运算的四原则(1)(1)小数小数分数分数. .(2)(2)分数分数化为最简分数的乘方，如化为最简分数的乘方，如(3)(3)根式根式分数指数幂分数指数幂. .(4)(4)负指数负指数正指数正指数. .2.2.指数幂运算的步骤指数幂运算的步骤(1)(1)有括号先算括号里的有括号先算括号里的, ,无括号先做指数运算无括号先做指数运算. . (2)(2)负指数幂化为正指数幂的倒数负指数幂化为正指数幂的倒数. . (3)(3)底数是
13、负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数，然后尽可能用幂的形式表示，以数是带分数，先化成假分数，然后尽可能用幂的形式表示，以便于使用指数运算性质便于使用指数运算性质. .【变式训练变式训练】(2014(2014南昌高一检测南昌高一检测) )计算下列各式的值计算下列各式的值. .(1)(1)(2)(2)【解析解析】(1)(1)原式原式= = =99.=99.(2)(2)原式原式= = =1+1-10+27=1+1-10+27=19.=19.【补偿训练补偿训练】(2014(2014成都高一检测成都高一检测) )计算：计算
14、：【解析解析】原式原式= = = = = =类型三类型三 条件求值问题条件求值问题【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014沈阳高一检测沈阳高一检测) )已知已知 则则 =_.=_.(2)(2014(2)(2014延安高一检测延安高一检测) )已知已知 则则 =_.=_.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中有根式和整数指数幂，化简时应怎样中有根式和整数指数幂，化简时应怎样求值？求值？2.2.题题(2)(2)中已知与所求的关系如何？中已知与所求的关系如何？【探究提示探究提示】1.1.本题应把根式化成幂的形式，先化简再求值本题应把根式化成幂的形式，先化简再求值. .2. 2. 【
15、自主解答自主解答】(1) (1) 因为因为所以上式所以上式答案：答案：(2)(2)因为因为所以所以又在又在 中中a0,a0,所以所以答案：答案：【延伸探究延伸探究】本例题本例题(2)(2)中条件不变，求中条件不变，求a a2 2+a+a-2-2的值的值. .【解析解析】因为因为所以所以a a2 2+a+a-2-2=7.=7.【方法技巧方法技巧】1.1.条件求值问题的两种常用方法条件求值问题的两种常用方法(1)(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件求值，这种方法是不可取的，而
16、应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值的联系，进而整体代入求值. .(2)(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分求值后代入：所求结果涉及的某些部分, ,可以作为一个整体可以作为一个整体先求出其值先求出其值, ,然后再代入求最终结果然后再代入求最终结果. .2.2.解决条件求值问题的步骤解决条件求值问题的步骤【变式训练变式训练】已知已知a0a0，a a2x2x=3=3，求，求 的值的值. .【解题指南解题指南】解答本题关键是由解答本题关键是由a a2x2x=3=3得出得出a ax x的值，进而把此值的值，进而把此值代入所求式中代入所求式中. .【解析解析】因为因为a0,aa0,a2
17、x2x=3,=3,所以所以所以所以所以所以【补偿训练补偿训练】已知已知x+y=12,xy=9,x+y=12,xy=9,且且xy,xy,求求 的值的值. .【解析解析】因为因为= =又因为又因为x+y=12,xy=9,x+y=12,xy=9,所以所以(x-y)(x-y)2 2=(x+y)=(x+y)2 2-4xy=12-4xy=122 2-4-49=108.9=108.因为因为xy,xy,所以所以将式将式代入式代入式得得【易错误区易错误区】性质运用不当致误性质运用不当致误 【典例典例】化简化简 的结果为的结果为( )( )【解析解析】选选A.A.由由 知知-a0-a0, ,所以所以a-10,a-10a0，同样在实数指数幂的运算性质中对底，同样在实数指数幂的运算性质中对底数也要求为正，但有时此条件可适当放宽一些，如在数也要求为正，但有时此条件可适当放宽一些，如在 中，中，当当m m为偶数时，为偶数时，a0a0也是有意义的，但在本题中如也是有意义的，但在本题中如 就要求就要求-a0-a0，考查根式的意义，结合运算性质求解，考查根式的意义，结合运算性质求解. .【类题试解类题试解】(2014(2014南阳高一检测南阳高一检测) =( ) =( )【解析解析】选选A.A.因为因为 中中-a0-a0，所以，所以a0,a0,所以所以
