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1、考研数学（三）第二部分线性代数章节练习（江南博哥）第一节 行列式第二节 矩阵第三节 向量第四节 线性方程组第五节 特征值与特征向量第六节 二次型第一节 行列式1单选题设四阶矩阵A=，2，3，4，B=，2，3，4，其中，2，3，4均为四维列向量，且|A|=1，|B|=-1，则|A+2B|=A.-27B.27C.81D.-81正确答案：A参考解析：A+2B=+2，32，33，34|A+2B|=33|+2，32，33，34| =27(|，2，3，4|+|2，2，3，4|) =27(|A|+|B|)=-272单选题M44=()A.-28B.28C.14D.-14正确答案：A参考解析：3单选题A.4B.
2、-4C.1D.-1正确答案：B参考解析：由分块矩阵求逆，得4单选题A.48B.24C.12D.0正确答案：D参考解析：直接按第一列展开5单选题设1，2，3，1，2都是四维列向量，且|A|=|1，2，3，1|=m，|B|=|1，2，2，3|=n，则|3，2，1，1+2|为()A.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m正确答案：D参考解析：|3，2，1，1+2|=|3，2，1，1|+|3，2，1，2| =-|1，2，3，1|-|1，2，3，2| =-|1，2，3，1|+|1，2，2，3|=n-m6填空题参考解析：【解析】由BA=B+2E有B(A-E)=2E故7填空题参考解析：k2(k2-4)【
3、解析】将第2，3，4行加到第1行，提取k，再用行列式性质，有8填空题参考解析：-4【解析】数字型行列式，每行(列)有2个元素为0，可以直接按一行(一列)展开计算，考虑到元素有规律，可以利用行列式的性质，交换第1，4行，再交换第2，4列，得9填空题设|A|=2，|B|=-2其中A，B均为n阶方阵，则|A-1B*-A*B-1|=_参考解析：(-4)n-1【解析】10填空题设A是mn矩阵，B是nm矩阵，当mn时，|AB|=_参考解析：0【解析】由已知，AB是m阶方阵由r(AB)r(B)minm，n)，故当mn时，有r(AB)nm，故|AB|=011填空题参考解析：【解析】由已知A2B-A-B=E，得
4、(A2-E)B=A+E，即(A+E)(A-E)B=A+E，而12填空题参考解析：-120【解析】把第一行加到第四行，提出公因数10，再把第四行逐行互换到第一行，由范德蒙行列式，得13填空题设四阶方阵A=,2，3，4，B=，2，3，4，其中，,2，3，4均为四维列向量，且|A|=5，|B|=-，则|A+2B|=_参考解析：108【解析】因为14填空题设A，B均为n阶矩阵，且|A|=2，|B|=-3，则|-ATB-1|=_参考解析：【解析】15填空题设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_参考解析：由(a+1)+2(a-2)+
5、3(a-1)=0得a=116填空题参考解析：17填空题设A为三阶正交矩阵，且|A|0，|B-A|=-4，则|E-ABT|=_参考解析：|A|0则|B|0正确答案：C参考解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，.Ps，Q1，.Qt，使得B=Ps.P1AQ1.Qt，而P1，.Ps，Q1，.Qt都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若|A|=0，即r(A)n，则r(B)n，令r(AB)=r，则()A.rmB.r=mC.rmD.rm正确答案：C参考解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)13单选题设A为四阶非零矩阵，且
6、r(A*)=1，则()A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=4正确答案：C参考解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C)14单选题设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则()A.r(B)=nB.r(B)nC.A2-B2=(A+B)(A-B)D.|A|=0正确答案：D参考解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)n又因为B是非零矩阵，所以r(B)1，从而r(A)n，于是|A|=0，选(D)15单选题A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1正确答案：D参考解析：16单选题A.B=P1AP2B.B=P2AP1C.
7、B=AP1D.B=A正确答案：D参考解析：17单选题设A是n阶矩阵，下列命题错误的是()A.若A2=E，则-1一定是矩阵A的特征值B.若r(E+A)n，则-1一定是矩阵A的特征值C.若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值D.若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值正确答案：A参考解析：18填空题参考解析：【解析】r(A)=2，先求A2，找出An的规律19填空题若An=E，n为正整数，则(A*)n=_参考解析：E【解析】由An=E，知|A|n=1又A*A=AA*=|A|E，得(AA*)n=(AA*)(AA*)(AA*)=|A|nE因A与A*可交换，故(AA
8、*)n=An(A*)n=|A|nE=E，于是(A*)n=E20填空题参考解析：【解析】41简答题设A，B分别为mn及ns阶矩阵，且AB=O证明：r(A)+r(B)n参考解析：【证明】42简答题证明：r(A)=r(ATA)参考解析：只需证明AX=0与ATAX=0为同解方程组即可，若AX0=0，则ATAX0=0，反之，若ATAX0=0，则X0TATAX0=0(AX0)T(AX0)=0AX0=0，所以AX=0与ATAX=0为同解方程组，从而r(A)=r(ATA)第三节 向量1单选题A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：将表出关系合并成矩阵形式有2单选题向量组1，2，n线性无关等价于()A.存在一组不全为0的数,使其线性组合不为0B.存在一个向量不能由其他向量线性表示C.任何一个向量均不能由其他向量线性表示D.其中任意两个向量线性无关正确答案：C参考解析：由线性无关的定义知，A，B不正确对于D：由1，2，n线性无关，知任意两个向量也线性无关，但反过来不成立，如，其中任两个向量均线性无关，但三个2维向量显然线性相关3单选题设向量()1，2，t，()1，2，t，则下列命题若向量组()可由()线性表示,且st,则必有()线性相关，若向量组()可由()线性表示,且st,则必有()线性相关，若向量组()可由()线性表示,且()线性无关,则必有st,若向量组()可由()线性表示,且()线性
