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1、 工程数学试题 第 页 共 6 页 1 2018 年 1 月 得分 评卷人 1某人打靶 3 发，事件 Ai 表示“击中 i 发” ，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1A2A3 表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中 3 发 2 对于任意两个随机变量X和Y， 若E(XY)=E(X)E(Y)， 则有( )。 A. X 和 Y 独立。 B. X 和 Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ） 。 A 其它1|0|)|1 (2)(=xxxf。 B.
2、其它2|05 . 0)(=xxf C. 00021)(222)(=xxexfx D. 其它00)(=xexfx， 4设随机变量X)4,(2N, Y)5,(2N, 41=XPP, 52+=YPP, 则有（ ） A. 对于任意的, P1=P2 B. 对于任意的, P1 P2 5设 X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） AD(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 一、单项选择题一、单项选择题（每小题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）在每小在每小题列出的四个选项中只
3、有一个是符合题目要求的， 请题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 工程数学试题 第 页 共 6 页 2 得分 评卷人 6 设 3 阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为 A*， 则|A*+3A2E|= 。 7设 A= 10000002011101110 x，则x= 。 8设有 3 个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为 P，则该系统正常工作的概率为 。 9设随机变量X的概率密度函数为其它Axxxf=002)(，则概率=)21(XP 。 10 设 二 维 连 续 型 随 机 变 量
4、),(YX的 联 合 概 率 密 度 函 数 为其它当0, 00),()43(=+yxkeyxfyx，则系数=k 。 得分 评卷人 11求函数tetf=)(的傅氏变换 (这里0)，并由此证明： 二、填空题二、填空题（每每空空 3 3 分，共分，共 1515 分）分） 三、计算题计算题（每小题每小题 1010 分，共分，共 5050 分）分） 工程数学试题 第 页 共 6 页 3 tedt+=+2cos022 12发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“1”和“0” 。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1” ，而是分别以概率 0.8 和 0.2 收到信号“1”
5、和“0” ；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率 0.9 和 0.1 收到信号“0”和“1” 。求 （1）收报台收到信号“1”的概率； （2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。 13设二维随机变量),(YX的联合概率函数是 其它0, 00),()42(=+yxceyxfyx 求： （1）常数 c； （2）概率 P(XY )； （3）X 与 Y 相互独立吗？请说 工程数学试题 第 页 共 6 页 4 出理由。 14将 n 个球随机的放入 N 个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数 X 的数学期望。 15设一口袋中依此标有 1，2，2，2，3，3 数
6、字的六个球。从中任取一球，记随机变量 X 为取得的球上标有的数字，求 (1)X 的概率分布律和分布函数。(2)EX 工程数学试题 第 页 共 6 页 5 得分 评卷人 16.设 a=(a1,a2,an)T，a10,其长度为a，又 A=aaT, (1)证明 A2=a2A； (2) 证明 a 是 A 的一个特征向量，而 0 是 A 的 n-1 重特征值； (3) A 能相似于对角阵吗？若能,写出对角阵. 四、证明题四、证明题（共共 1 10 0 分）分） 工程数学试题 第 页 共 6 页 6 得分 评卷人 17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 X 是随机变量,它在2000,4000(
7、 单位： 吨 )上服从均匀分布， 又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇 3 万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费 1 万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。 五、应用题（共五、应用题（共 1010 分）分） 工程数学试题 第 页 共 6 页 7 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、一、 选择题选择题（每小题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分） 1B 2C 3D 4A 5A 二、二、 填空题填空题（每小题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分） 6. 9 7. 1 8. 1(1P)3 9. 3/4 10. 12 三、计算题三、计算题（每每题题
8、 1 10 0 分，共分，共 5050 分）分） 11.11.解答：解答：函数 f(t)的付氏变换为： F(w)=dtedtedteeetjtjtjtt+=0)(0)(| | | （3 分） =22211+=+jj (2 分) 由付氏积分公式有 f(t)=1F(w)=deFtj+)(21 (2 分) =dtjt+)sin(cos22122 =dtd t+=+02222cos2cos221 （2 分） 所以 tedt+=+2cos022 （1 分） 12.12.解解答答: : 设 A1=“发出信号 1” ，A0=“发出信号 0” ，A=“收到信号 1” （2 分） (1)由全概率公式 （1 分）
9、 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2 分） =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 （1 分） (2)由贝叶斯公式 （1 分） 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2 分） =0.8x0.6/0.52=12/13 （1 分） 13.13.解解答答: : 工程数学试题 第 页 共 6 页 8 (1) 由联合概率密度的性质有 +=1),(dyyxfdx 即 +=0)42(01dycedxyx （2 分） 从而 c=8 （2 分） (2)=yxdxdyyxfYXP),()(=+xyxdyedx0)42(0328 （2 分） (3) 当
10、 x0 时， +=02)42(28),()(xyxXedyedyyxfxf （2 分） 当 x=0 时, 0)(=xfX 同理有 其它004)(4=yeyfyY （1 分） 因 yxyfxfyxfYX,)()(),(= 故 X 与 Y 相互独立 （1分） 14.14.解解答：答： 设 否则个盒子有球第iXi=01 i =1,2,N (2 分) 则 =NiiXX1 (1 分) 因 nniNNXP) 1()0(= (2 分) nniiNNXPXP) 1(1)0(1) 1(= (2 分) 因而 nniiiNNXPXPEX) 1(1) 1(1)0(0=+= (2 分) 工程数学试题 第 页 共 6 页
11、 9 所以 )11 (1 (1nNiiNNEXEX= (2 分) 15.15.解解答：答： （1）随机变量X的取值为 1，2，3。 （1 分） 依题意有：62) 3(;632;611=XPXPXP （3 分） X的分布函数)(xXPxF= （1 分） 由条件知：当1x时，; 0(=）xF （1 分） 当21 x时，;61) 1(=XPxF） （1 分） 当32 x时，;32)2() 1(=+=XPXPxF） （1 分） 当3x时，; 1(=）xF （1 分） （2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1 分） 四四、证明题证明题（共共 1010 分）分） (1)
12、 A2=aaTaaT=aTa aaT =a2A （2 分） (2)因 Aa= aaT a=aTaa= a2a （2 分） 故 a 是 A 的一个特征向量。 又 A 对称，故 A 必相似于对角阵 （1 分） 设 A diag(1,2,n)=B, 其中1,2,n是 A 的特征值 (1 分) 因 rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1 分) 从而1,2,n中必有 n-1 个为 0, 即 0 是 A 的 n-1 重特征值 （1 分） (3) A 对称，故 A 必相似于对角阵， =diag(a2, 0,0) (2 分) 五、应用题五、应用题（共共 1010 分）分） 解答解答: 设 y 为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于 2000 与 4000 之间，用 Z表示国家的收益（万元）, （1 分） 则有 yXyXXyXyXgZ=)(33)( （4 分） 因 X 服从 R(2000,4000), 故有 其它4000200002000/1)(=xxfX (1 分) 所以 工程数学试题 第 页 共 6 页 10 dxydxxyxdxxfxgEZyyX+=40002000200032000)(3)()( =( y2 7000y + 4106 ) /1000 (3 分) 求极值得 y=3500 (吨) (1 分)
