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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”单位圆在三角函数的学习中起着特别重要的作用，这是由于第一三角函数的自变量“角”可以在单位圆上表示；另外，各三角函数也可以用单位圆和角的终边的交点坐标表示如：设角的终边与单位圆的交点是A x,y ，就由三角函数定义：siny,cosx ，tanyx即点 A 可以表示为Acos,sin，据此我们可以得到很多常用的结论和解题方法例 1 证明以下诱导公式：（ 1） sinsin， coscos， tantan；（ 2） sinsin， coscos， tantan；
2、（ 3） sinsin， coscos， tantan证明： 设角的终边与单位圆的交点是Acos,sin ，就（ 1）设角的终边与单位圆的交点是B，依据三角函数定义，B 点坐标为B cos,sin ；又角的终边与角的终边关于y 轴对称，故 B 点坐标为B cos,sin 因此， sinsin， coscos以上两式相除得：tantan（ 2）设角的终边与单位圆的交点是C，依据三角函数定义，C 点坐标为C cos,sin ；又 角终 边 与 角的 终 边 关 于 原 点 对 称 ， 故C点 坐 标 为C cos,sin 因此， sinsin， coscosy以上两式相除得：tantansin x
3、cos x同理可证（ 3） 例 2 求以下函数的定义域：O1xsin x（ 1）f xlog a sin xcosx, a0, a1；（ 2）g xlog a sin xcos x, a0, a1 cos x（图 1） 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解： 这类问题通常就是比较正弦和余弦函数值的大小假如利用两个函数图像来比较， 至少需要画出两个函数各一个周期的图像，繁琐一些 如利用单位圆来分析正弦和余弦函数值的分布，就相对简洁多了（ 1）如图（ 1），当 xk（ kZ ）时， s
4、in x4cos x 所以，直线yx 把单位圆分成了两部分，在其中的一部分上sin xcos x ，在另一部分上 sin xcos x （类似于线性规划中可行域的确定）通过特别角验证，不难知道，当kx5k（ kZ ）时， sin xcos x 44y因此，函数f x 的定义域是sin xcos xx2kx52k, kZO1x44（ 2）如图（ 2），同理可求得g xlog a sin xcosx 的定sin xcos x义域是x2kx32k,kZ（图 2）44事实上，通过例 2 我们在单位圆上得到了函数ysin xcos x 和 ysin xcos x 的整个函数值的变化（增减）和分布（正负）
5、情形.另外， 在三角函数的学习中，有时会显现这样一个问题，有的同学在求解某个角的范畴时，可能会写出“单边不等式”例如： x等，这多半是错误的由于，在单位圆上表3示一下这些角就知道了，x等价于 x 3R ！从这里也可以看出，单位圆表示角有得天独厚的优势，相比用三角函数图像解题，单位圆“占地面积小”例 3 求以下函数的值域：y（ 1）ysinx, x, 5 ；（ 2）ycosx, x, 3 .444解：（ 1）如图 3，由单位圆不难看出，322O1x当 x, 5 44 时，2sin x1 524所以，函数ysin x, x, 544 的值域是 2 ,1 2（图 3）（ 2）当 x,322时，x,
6、7366类似（ 1），不难得到cosx1,3 32 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以，函数ycosx, x, 3 的值域是3y1, 322211例4解以下三角不等式：122（ 1） sin3x1 ；0O0x（ 2） tan2x621 .-13解：（ 1）如图 4，依据单位圆中正弦值的分布情形，可知（图 4）当2k3x52k时，666即2kx22k时， sin3 x1 .333因此，原不等式的解集是622k22 kxx, kZ .333（2）如图 5，依据单位圆中正切值的分布情
7、形，可知y1当k2xk时，2340即kx7k时， tan2 x1 .O0x12224231因此，原不等式的解集是k7kxx, kZ .（图 5）122242例5求以下函数的单调递增区间：（ 1） y（ 2） ysin3 x ；6tan2 x .3解：（ 1）如图 4，依据单位圆中正弦值的分布情形，可知当2 k23x2k时，62即22kx2 k时，函数ysin3x 单调递增 .93936因此，函数 ysin3 x 的单调递增区间是22k,2k ， kZ .6（ 2）如图 5，依据单位圆中正切值的分布情形，可知9393当k2x232即kx5kk时，时，函数ytan2 x 单调递增 .1221223 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -因此，函数ytan2 x 的单调递增区间是k5k,， kZ .3122122单位圆在三角函数学习中应用特别广泛，以上只是举了几个简洁的例子加以说明，期望大家在学习中不断总结、体会. 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -
