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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -题目高中数学复习专题讲座不等式学问的综合应用高考要求不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他学问综合运用的特点比较突出不等式的应用大致可分为两类一类是建立不等式求参数的取值范畴或解 决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点供应相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题 第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - -
2、- - - - - -重难点归纳1 应用不等式学问可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要留意等价性2 对于应用题要通过阅读，懂得所给定的材料，查找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特点与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的学问求出题中的问题典型题例示范讲解例 1 用一块钢锭烧铸一个厚度匀称，且表面积为2 平方米的正四棱锥形有盖容器 如右图 设容器高为h 米，盖子边长为a 米，1求 a 关于 h 的解析式；2设容器的容积为V 立方米， 就当 h 为何值时， V 最大？求出V 的最大
3、值 求解此题时，不计容器厚度 第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -命题意图此题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的运算及用均值定论求函数的最值学问依靠此题求得体积V 的关系式后， 应用均值定理可求得最值错 解 分 析在 求 得a的 函 数 关 系 式 时 易 漏h 0技 巧 与 方 法本 题 在 求 最 值 时 应 用 均 值 定 理 第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - -
4、 - -解 设h 是 正 四 棱 锥 的 斜 高 ， 由 题 设 可 得消去由 h 0得所以 V，当且仅当 h=即 h=1 时取等号 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -故当h=1 米时， V 有最大值，V 的最大值为立方米+bx+c， gx=ax+b，当 1 x例 2 已知 a， b， c 是实数，函数fx=ax2 1 时|fx| 11证明|c |1；2证明当 1 x1 时， |g x| 2；3设 a 0，有 1 x1 时， gx的最大值为2，求 f x命题意图此题主要考查二次函
5、数的性质、含有肯定值不 等 式 的性 质 ，以 及 综合 应 用 数学 知 识分 析 问题 和 解 决问 题 的能 力 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学问依靠二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而肯定值不等式的性质敏捷运用是此题的灵魂错解分析此题综合性较强， 其解答的关键是对函数fx 的单调性的深刻懂得，以及对条件“1 x1 时|f x| 1”的运用；肯定值 不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密， 从而使题目陷于僵局技巧与方法此题 2 问有三种证法，证法一利用
6、gx的单调性；证法二利用肯定值不等式|a| |b| |a b| 第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -|a|+|b|；而证法三就是整体处理gx与 f x的关系1证明由条件当 =1 x 1 时， |f x| 1，取 x=0 得 |c|=|f0| 1，即 |c| 12证法一依题设 |f0| 1 而 f0= c，所以 |c | 1当 a 0 时， gx= ax+b 在 1，1上是增函数，于是 g 1 gxg1， 1 x 1 |fx| 1， 1 x 1， |c| 1， g1= a+b=f1
7、c |f1|+|c |=2，g 1= a+b= f 1+c |f 2|+|c| 2， 因此得 |gx|2 1 x 1；当 a0 时， gx=ax+b 在 1，1上是减函数， 于是 g 1 gxg1， 1 x 1， |fx| 1 1 x 1， |c| 1 第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - - |g x|=|f1 c| |f1|+| c| 2综合以上结果，当1x 1 时，都有 |gx| 2证法二 |fx| 11 x 1 |f 1| 1， |f1| 1， |f0| 1， fx=ax2+b
8、x+c， |a b+c| 1， |a+b+c| 1， |c| 1，因此，依据肯定值不等式性质得|ab |=|a b+c c| |a b+c|+|c| 2，|a+b|=|a+b+c c| |a+b+c|+|c| 2， gx=ax+b， |g 1|=| a+b|=|a b| 2， 函数 gx=ax+b 的图象是一条直线，因此 |gx|在 1，1上的最大值只能在区间的端点x= 1 或 x=1 处取得，于是由 |g 1| 2 得|gx| 2， 1 x 1 第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - -
9、-当 1 x1 时，有 0 1， 10， |fx| 1， 1 x 1， |f| 1，|f|1；因此当1 x 1时， |gx| |f|+|f| 2(3) 解由于 a0，gx在 1，1上是增函数，当x=1 时取得最大值2，即 g1= a+b=f1 f0=2 1 f0= f1 21 2= 1， c=f0= 1由于当 1 x 1 时， f x 1，即 fx f0，依据二次函数的性质，直线x=0 为 f x的图象的对称轴， 第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -由此得 0 ，即 b=0由得 a=2，所以 fx=2x2 1例 3 设二次函数fx =ax2+bx+ca 0，方程fx x=0 的两个根x1 、x2满意 0 x1 x21当 x 0， x1时，证明 x f x x1；2设函数fx的图象关于直线x=x0 对称，证明x0 第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解1令 Fx=fx x，由于 x1，x2 是方程 fx x=0 的根，所以Fx=ax x1x x2当 x 0， x1时，由于x1 x2，得 xx1 x x2 0，又 a0，得 Fx=axx1x x2 0，即
