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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -参数方程的概念教学目标： （ 1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程， 体会参数的意义；（ 2）分析曲线的几何性质，挑选适当的参数写出它的参数方程；（ 3）能把握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；重点难点： 依据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义教学过程： 1. 问题提出： 已知圆 C 的方程为 x2 2y 21，过点 P11,0作圆 C的任意弦，交圆 C 于另一点 P2, 求 P1P2 的中点 M的轨迹方程 .书中列举了六种解法，其中
2、解法六运用了什么方法求得M点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？x设 M x , y ，由yk 221k 2k1k 2，消去k, 得 x3 2y 221，因 M 与 P1 不重合，所以M4点的轨迹方程为 x3 2y 221（ x1 ）4解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程F x, y0 , 而是通过引入第三个变量k（直线的斜率），间接地求出了x 与 y 的关系式， 从而求得M点的轨迹方程 . 实际上方程k 22x1k 2 （ 1）yk1k 2和 x3 2y 221 （ x41 ）（ 2）都表示同一个曲线，都是M 点的轨迹方程. 这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组
3、（ 1）是曲线的参数方程，变数k 是参数，方程（2）是曲线的一般方程.（2）、抽象概括：参数方程的概念；1、 曲线的参数方程x在取定的坐标系中， 假如曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，yf tg t1并且对于t 的每一个答应值，由方程组1 所确定的点Mx,y 都在这条曲线上，那么方程组1叫做这条曲线的参数方程.联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数 ，简称 参数 .2、 求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用x,y表示曲线上任意一点M的坐标；(2) 选参：挑选合适的参数；(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x， y
4、 的关系式，并由此分别解出用参数表示的x、y 的表达式 .(4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程3、 曲线的一般方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程 F（ x,y ） 0 叫做曲线 C 的一般方程 . 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -4、 参数方程的几个基本问题(1) 消去参数，把参数方程化为一般方程.(2) 由一般方程化为参数方程.(3) 利用参数求点的轨迹方程.(4) 常见曲线的参数方程.3、曲线的一般方程与曲线的参数方程的区分与联
5、系曲线的一般方程F x, y 0 是相对参数方程而言， 它反映了坐标变量x 与 y 之间的直接联系；x而参数方程f t ， tD 是通过参数t 反映坐标变量x 与 y 之间的间接联系. 曲线的一般方程ygt 中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1 个. 从这个意义上讲，曲线的一般方程和参数方程是“一样”的.参数方程消去参数一般方程； 一般方程恰当挑选参数参数方程这时一般方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.说明：（ 1）一般来说，参数的变化范畴是有限制的；（ 2）参数是联系变量x， y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际
6、意义；曲线的参数方程xf t （t 为参数， tD ）是表示一条确定的曲线；ygt 含参数的方程F x, y, t 0 却表示具有某一共同属性的曲线系，两者是有原就区分的.（3）由此可以看出参数方程和一般方程是同一曲线的两种不同的表达形式. 我们对参数方程并不生疏，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k, 先求得曲线的参数方程再化为一般方程，进而求得轨迹方程 . 参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.例 1、（ 课本第 28 页例 1）已知曲线 C 的参数方程是x 3ty 2t 2t为参数 （ 1）判定点1M 1 0,1,M5,4与曲线 C 的位置关系； （ 2）已知点26, a 在
7、曲线 C 上，求 a 的值；M3分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y的方程问题易于解决；同学练习；反思归纳：给定参数方程要讨论问题可化为关于x,y 的方程问题求解；1、参数方程化一般方程例 2： 化参数方程x4t 2yt1（ t 0,t为参数）为一般方程，说明方程的曲线是什么图形.x4t 2解:yt112由2 解出 t ，得 t=y 1，代入 1 中，得 x4 y1 2y 1 即 y物线的一部分 .1 21x y 1 方程的曲线是顶点为0,1,对称轴平行于x 轴，开口向左的抛4点拨： 先由一个方程解出t ，再代入另一个方程消去参数t, 得到一般方程，这种方法是代入消参法. 第 2 页
8、，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -x8t2例 3： 当 tR时，参数方程4t4t 2y4t 2（t 为参数），表示的图形是（）A双曲线B椭圆C抛物线D圆点拨： 解法 1 使用了代数消元法，解法2 观看方程（ 1）、（ 2）的“形状”很像三角函数中的万能公式，使用了三角消参法.当 x 和 y 是 t 的有理整函数时，多用代入或加减消元法消去参数；当 x 和 y 是 t 的有理分式函数时，也可以用代入消参法，但往往需要做些技巧性的处理. 至于三角消参法，只在比较巧合的情形下使用.例 4： 将以下
9、方程化为一般方程：x1cos21sin2（为参数）2ete txt2ete（ t 为参数）y12siny2解:1做 x22y cos 2+sin 2+sin 1+sin 022x22 y 0，但由于 x2 sin ，即 0 x 2 .4t22t参数方程只表示抛物线的一部分，即x22 y （ 0 x 2 ）(2) 解方程组得xytte 1xye21 2 得xy1从xee 2知 x 1（提示应用均值定理）所求的一般方程为x 2y 2 1 x 1点拨： 1 从方程组的结构看含肯定值，三角函数，通过平方去肯定值，利用三角消参法化为一般方程；(2) 观看方程组的结构，先利用消元法，求出te ， et ,
10、 再消 t.方法总结： 将参数方程化一般方程方法：（基本思想是消参）1代入消参法；2代数变换法（，乘方）(3) 三角消参法留意：参数取值范畴对2、一般方程化参数方程x, y 取值范畴的限制. 参数方程与一般方程的等价性）例 5： 设 y1sin，为参数，化方程x24 y 22x8y10 为参数方程；x2y2解：y12x sin8y10消 y 得x2412 sinsin 22x88sin10x22x4 sin 230 x1 24cos2 x12 cos,或x12cos由于R，所以 x12 cos, 或x12 cos和所确定的x 取值范畴是一样的，故主要任选其一构成参数方程即可.所求的参数方程为x
11、12 cosRy1sin例 6：以过点 A0,4 的直线的斜率k 为参数， 将方程 4 x 2y 2 16 化成参数的方程是. 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：设 M x , y 是椭圆 4 x2y 2 16 上异于 A 的任意一点，就y4k ，xx 0）以 ykx4 代入椭圆方程，得x 4k 2 x8k =0,xykx8k24k 24164k2x0另有点y44kx8k2所求椭圆的参数方程为4k或x02y164ky424k方法总结： 将一般方程化参数方程方法：xf t 已知消去 xyt xf t F x, y0四）基础学问测试：yt 1、曲线x 1y 4tt（ t 为参数）与x 轴交点的坐标是（）232525A（ 1，4）B（16， 0）C（1， 3）D（16， 0）2、在曲线x 1t 2y t 33tt 4（ t 为参数）上的点是（）2A（ 0，2）B（ 1，6）C（ 1， 3）D（ 3， 4）x23、参数方程sin 2ytgctg（为参数）所表示的曲线是（）A直线B抛物
