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1、2021-2022学年辽宁省鞍山市杨家堡中学高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限【解答】解：=i复数在复平面对应的点的坐标是（，）它对应的点在第四象限，故选D2. 一个正三棱
2、锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）ABCD参考答案：C【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1底面是正三角形且球半径为1底面边长为，底面积为，V=1=故选C3. 已知函数，且=2，则的值为 （ ）A.1 B. C.1 D. 0参考答案：A4. 正方体中,分别为的中点，则与平面夹角的正弦值为（ ） 参考答案：B略5. 设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确
3、的是 ()A. P(Y2)P(Y1)B. P(X2)P(X1)C. 对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D. 对任意正数t，P(Xt)P(Yt)参考答案：D【分析】由题，直接利用正态分布曲线的特征，以及概率分析每个选项，判断出结果即可.【详解】A项，由正态分布密度曲线可知，x2为Y曲线的对称轴，12，所以P(Y2)P(Y1)，故A错；B项，由正态分布密度曲线可知，012，所以P(X2)P(X1)，故B错；C项，对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，即有P(Xt)P(Yt)，故C错；D项，对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，因此有P(Xt)P(Yt)故D项正确故选D【点睛】本题考查正态分布及其密度曲
4、线，熟悉正态分布曲线是解题关键，属于较为基础题.6. 有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁参考答案：D【分析】根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题.【详解】若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对；若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不
5、对，符合条件，故获奖的是丁；若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D.【点睛】本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.7. 已知是抛物线的焦点,准线与轴的交点为，点在抛物线上,且,则等于（ ）A B CD参考答案：C略8. 如图是函数的大致图象，则等于A.1 B.0 C.D.参考答案：B略9. 若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45，则该正四棱锥的体积是（）ABCD参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】作出棱锥的高与斜高，得出侧面与底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面边长，代入体积公式计算【解答】解：过棱锥定点S作SEAD，SO平面ABCD，则E
6、为AD的中点，O为正方形ABCD的中心连结OE，则SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即SEO=45设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，SE=在RtSAE中，SA2=AE2+SE2，3=，解得a=2SO=1，棱锥的体积V=故选B10. 函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）当x0，1时，f（x）=2x，若方程ax+af（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A（，1）B0，2C（1，2）D1，+）参考答案：A【分析】由f（x+2）=f（x）可得函数f（x）的周期为2，当x0，1时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当
7、x1，0时，f（x）=2x，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+af（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得有三个交点，即必须满足kACakAB，运用斜率公式即可【解答】解：由f（x+2）=f（x）可得函数f（x）的周期为2，当x0，1时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当x1，0时，f（x）=2x，由ax+af（x）=0得f（x）=ax+a，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+af（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线y=ax+a的斜率必须满足kACakAB，由题意可得A（1，0），B（1，2），C（3，2），则kAC=
8、，kAB=1即有a1故选A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，所对的边分别是，若，则 参考答案：略12. 已知动点满足：,则点P的轨迹的离心率是_.参考答案：13. 第二十届世界石油大会将于2011年12月4日8日在卡塔尔首都多哈举行，能源问题已经成为全球关注的焦点某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)有如下几组样本数据：x3456y2.5344.5根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的汽油为_
9、吨参考答案：7.35略14. 已知定义在上的函数满足： 则的值为 参考答案：略15. 以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，.现有如下命题：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，”；函数的充要条件是有最大值和最小值；若函数，的定义域相同，且，则；若函数（，）有最大值，则.其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号）参考答案：略16. 已知设方程的个根是，则；设方程的个根是、，则；设方程的个根是、，则；设方程的个根是、，则； 由以上结论，推测出一般的结论： 设方程的个根是、，则 参考答案：17. 设函数f(
10、x)x3cosx1.若f(a)11，则f(a)_参考答案：9略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知为等差数列，且（）求数列的通项公式；（）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值. 参考答案：略19. 设函数f（x）=|x4|+|xa|（a1），且f（x）的最小值为3，若f（x）5，求x的取值范围参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】利用不等式的性质对|x4|+|xa|进行放缩，求出其用a表示的最小值，因为f（x）的最小值为3，从而求出a值，把f（x）代入f（x）5，然后进行分类讨论求解【解答】解：因为|x4|+|xa|（x4）
11、（xa）|=|a4|，所以|a4|=3，即a=7或a=1由a1知a=7； f（x）=|x4|+|x7|5，若x4，f（x）=4x+7x=112x5，解得x3，故3x4；若4x7，f（x）=x4+7x=3，恒成立，故4x7；若x7，f（x）=x4+x7=2x115，解得x8，故7x8；综上3x8，故答案为：3x8 20. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A=（2ba）cosC（1）求角C；（2）若A=，ABC的面积为，D为AB的中点，求sinBCD参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得：2si
12、nBccosC=sinB，由sinB0，可求cosC=，结合C的范围可求C的值（2）利用三角形内角和定理可求B，利用三角形面积公式可求a，在DBC中，利用余弦定理可求CD，在DBC中，由正弦定理可得sinBCD的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）在ABC中，ccos A=（2ba）cosC，可得：2bccosC=（ccosA+acosC），由正弦定理可得：2sinBccosC=（sinCcosA+sinAcosC）=sinB，sinB0，cosC=，0C，C=6分（2）A=，C=，可得：ABC为等腰三角形，B=，SABC=a2sinB=，a=2，在DBC中，由余弦定理可得：CD2=DB2
13、+BC22DB?BCcosB=7，可得：CD=，在DBC中，由正弦定理可得：，即： =，sinBCD=12分21. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数（1）sin213+cos217sin13cos17（2）sin215+cos215sin15cos15（3）sin218+cos212sin18cos12（4）sin2（18）+cos248sin（18）cos48（5）sin2（25）+cos255sin（25）cos55（）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论参考答案：【考点】F9：分析法和综合法；F1：归纳推理【分析】（）选择（2），由sin215+cos215sin15cos15=1sin30=，可得这个常数的值（）推广，得到三角恒等式sin2+cos
