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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点不等式的基本学问（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性： abba(2) 传递性： ab, bcac(3) 加法法就：abacbc ； ab,cdacbd 同向可加 (4) 乘法法就：ab, c0acbc ；ab, c0acbcab0, cd0acbd 同向同正可乘(5) 倒数法就：a11b, ab0ab(6) 乘方法就：ab0a nb n nN * 且n1(7) 开方法就：ab0n anb nN * 且n12、应用不等式的性质比较两个实
2、数的大小：作差法（作差变形判定符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax 2bxc0或ax2bxc0 a0的解集：设相应的一元二次方程axbxc0 a0 的两根为x1、x2 且 x1x2 ，2b4 ac ，就2不等式的解的各种情形如下表：000二次函数yax 2bxcyax 2bxcyax 2bxcyax2bxc（ a0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bxc0x1 , x2 x1x2 bx1x2无实根a0 的根2aax2bxc0x xx1或xx2x xbRa0的解集2a 第 1 页，共 6 页 - - - - - - -
3、- -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点2axbxc0x x1xx2a0的解集2、简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （ 1）分解成如干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（ 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并留意奇穿 过 偶 弹 回 ；（ 3 ） 根 据 曲 线 显 现f x的 符 号 变 化 规 律 ， 写 出 不 等 式 的 解 集 ；23如： x1x1x203、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母 分
4、解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正，最终用标根法求解；解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母；f x0f x g x0;f x0f x g x 0g xg xg x04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转化为最值问题如不等式fx如不等式fxA在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上B 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上fx minAfx maxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧全部点组成的平 面 区 域 . （ 虚
5、线 表 示 区 域 不 包 括 边 界 直 线 ） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的全部点x, y ，把它的坐标（x, y 代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一特别点（ x0, y0 ，从 Ax0+By0+C 的正负即可判定 Ax+By+C 0 表示直线哪一侧的平面区域. （特别地，当C 0 时，常把 原点 作为此特别点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于 x、y 的一
6、次式z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、 y 的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满意线性约束条件的解（x,y）叫可行解由全部可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点（1）查找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由
7、二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式abab 21如 a,b R ,就 a2+b2 2ab,当且仅当a=b 时取等号 .ab2假如 a,b 是正数，那么2ab 当且仅当 a2b时取 号.变形：有:a+b 2ab ；abab2,当且仅当a=b 时取等号 .3假如 a,b R+ ,ab=P 定值 ,当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值 2P ;2假如 a,b R+ ,且 a+b=S 定值 ,当且仅当a=b 时,ab 有最大值S.4注：（ 1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两
8、个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式 有：（1）a 2b22abab 22 依据目标不等式左右的运算结构11选用 ；（ 2） a、b、cR， a2b2c2ababbcca （当且仅当abc 时，取等号） ；（ 3）如 ab0, m0 ，就 bbm （糖水的浓度问题） ；a am不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质1. 对于实数a ,b,c 中，给出以下命题： 如ab, 就ac2bc2 ； 如ac 2bc 2 ,就ab ； 如ab0,就a 2abb ab 2 ； 如ab0
9、,就 11 ；ab 如ab0,就a； 如abb0,就ab ； 如caba0, 就cab11； 如ab,，就 a cbab0, b0 ；其中正确的命题是 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）（二）解不等式 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点题型三：解不等式2. 解不等式3. 解不等式 x1x2 20 ；4. 解不等式5xx22 x315. 不等式ax2bx120 的解集为 x|-1 x 2 ，就 a = , b= 6. 关于 x 的不等式
10、axb0 的解集为1, ，就关于 x 的不等式 axbx20 的解集为7. 解关于 x 的不等式ax2a1x10题型四：恒成立问题8. 关于 x 的不等式a x2+ a x+1 0恒成立，就a 的取值范畴是 9. 如不等式x22 mx2 m10 对 0x1的全部实数 x 都成立，求 m 的取值范畴 . 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点10. 已知 x0, y0 且 191 ，求使不等式xym 恒成立的实数m 的取值范畴；xy（三）基本不等式题型五：求最值abab 211. （直接用）求以下函数的值域（ 1） y 3x 2 1 2（ 2） y x 12xx12. （配凑项与系数）（1）已知 x5，求函数 y44 x214x5的最大值；（ 2）当时，求yx82 x 的最大值；求函数 yx252x4的值域； 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -
