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1、湖南省衡阳市常宁第七中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在极坐标系中，曲线关于 （ ）(A)直线轴对称 (B)点中心对称 (C)直线轴对称 （D）极点中心对称参考答案：答案:C 2. 数列是等差数列，是它的前项和，若那么= A43 B54 C48 D56 参考答案：B略3. 是虚数单位，若，则的值是（ ）A、 B、 C、 D、参考答案：C略4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 20参考答案：C略5. 已知抛物
2、线C：的焦点为F，过F作倾斜角为锐角的直线l交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的方程为（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】设直线的方程为，联立方程组，求得，再根据弦的中点到抛物线的准线的距离为5，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线方程，可得，设直线的方程为，点，线段的中点，由，得，则，又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为5，所以，即，解得,即，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中设出直线方程，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和题设条件，得到关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
3、.6. 设，则函数的零点位于区间A B C D参考答案：C略7. 从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 (A) 224 (B) 112 (C) 56 (D) 28参考答案：B略8. 参考答案：C9. 直线为曲线的切线，则的斜率的取值范围是( ) 参考答案：D略10. 给出下列三个等式：，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）ABCD 参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线ya与函数及函数的图象分别相交于A,B两点，则A,B两点之间的距离为 参考答案：12. 已知；则 参考答案：13. 已知
4、有限集.如果A中元素满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：集合是“复活集”；是“复活集”，则；不可能是“复活集”；若，则“复活集”A有且只有一个，且.其中正确的结论是_.（填上你认为所有正确的结论序号）参考答案：易判断是正确的；不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由0，可得t4，故错；不妨设A中a1a2a3an，由a1a2an=a1+a2+annan，得n，当n=2时，即有a12，a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故正确;当n=3时，a1a2(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n
5、(n-1)!，事实上，(n-1)!(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n2，矛盾，当n4时不存在复活集A，故正确14. 设是定义在R上的奇函数，当时，且，则不等式的解集为_ 参考答案：15. 已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_参考答案：(，2ln22略16. 如图，在平行四边形OACB中，E，F分别为AC和BC上的点，且，若，其中m，nR，则mn的值为参考答案：4/317. 函数为增函数的区间是_，参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分）设函数（）求的
6、最小正周期 （）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值参考答案：解析：（）= 故的最小正周期为T = =8 ()解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点.由题设条件，点在的图象上，从而 = = 当时，因此在区间上的最大值为解法二： 因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（）知 当时，因此在上的最大值为.19. 奇函数f（x）又是在R上的减函数，对任意实数x，恒有f（kx）+f（x2+x2）0成立，求k的范围参考答案：【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【分析】由题设知kxx2x+2，故x2（1+k）x+20，由y=x2（1+k）x+
7、2开口向上，知要使x2（1+k）x+20，只需=（1+k）280，即k2+2k70，由此能求出实数k的取值范围【解答】解：根据题意，奇函数f（x）在R上为减函数，若对任意的x，不等式f（kx）+f（x2+x2）0恒成立，f（kx）f（x2+x2）f（kx）f（x2x+2）kxx2x+2x2（1+k）x+20，y=x2（1+k）x+2开口向上，要使x2（1+k）x+20恒成立，只需=（1+k）280，整理，得k2+2k70，解可得12k1+2，即k的取值范围为20. （本小题满分12分） 已知函数（）求的最小正周期；（）求的单调增区间；（）若，求的值.参考答案：解： 1分 2分 3分（）的最小正
8、周期为； 4分（）由 ， 6分得， 7分Ks5u 的单调增区间为8分（）因为，即 9分 11分 12分略21. 某单位准备购买三台设备，型号分别为A、B、C已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.每台设备一个月中使用的易耗品的件数678型号A30300频数型号B203010型号C04515将调查的每种型号的
9、设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.（1）求该单位一个月中A、B、C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？参考答案：（1）（2）应该购买21件易耗品【分析】（1）由统计表中数据可得型号分别为A、B、C在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可；（2）由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能
10、取值及期望,即可分析求解.【详解】（1）由题中的表格可知A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为；B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为；C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为；设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则而,故,即该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为.（2）以题意知,X所有可能的取值为；由（1）知,若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,；若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,
11、设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,；,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品【点睛】本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.22. 设是函数的导函数，我们把的实数叫做函数的好点.已知函数.(1)若0是函数f(x)的好点，求a；(2)若函数f(x)不存在好点，求a的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】(1) 求得函数的导数，根据，得，代入，即可求解.(2) 由（1）知根据，得，令，问题转化为讨论函数的零点问题，利用导数分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】(1) 由题意，函数，可得，由，得，即.因为是函数的好点
12、，所以，解得.(2) 由（1）知，由，得，即.令，问题转化为讨论函数的零点问题.因为，当时，若函数不存在好点，等价于没有零点，即的最小值大于零，又由，若，则，无零点，无好点.若，则，得.当时，；当时，所以在单调递减，单调递增.所以当时，取最小值.当且仅当，即时，所以无零点，无好点.若，则，得.当时，；当时，所以在单调递减，单调递增.所以当时，取最小值.当且仅当，即时，所以无零点，无好点.综上，的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题
