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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -初二数学：因式分解（一）因式分解提公因式法（一）、内容提要多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为亲密；因式分解是在学习有理数和整式四就运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形供应必要的基础；因式分解的概念是把一个多项式化成n 个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法；它的理论依据就是乘法的安排律；运用这个方法， 第一要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或
2、公共因式中的最高公因式； 学问要点 ：1明白因式分解的意义和要求2懂得公因式的概念3把握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式（二）、例题分析例 1以下从左到右的变形，属于因式分解的有（）21.x+1x-2=x-x-22.ax-ay-a=ax-y-a2 32323.6xy =2x 3y3224.x-4=x+2x-25.9a-6a +3a=3a3a-2aA、0 个B、1 个C、2 个D、3 个分析： 从左到右，式1 是整式乘法； 式 2 右端不是积的形式；式 3 中左右两边的均是单项式，原先就是乘积形式，我们说的因式分解， 指的是将多项式分解成n 个整式的乘积形式；式 5 的右边括号内漏
3、掉了“1”这项；只有式4 是正确的；（答案）解：B2 33 22例 2把 -3a b +6a b c+3a b 分解因式2分析：假如多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“- ”号，使括号内的第一项的系数是正的；此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a b.2 33 222 33 2222解： -3ab +6a b c+3a b=-3ab -6a b c-3a b=-3abb -2abc-1评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1 或-1 ，而不是零； 122作为项的系数通常可以省略，但假如单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算
4、的逆过程的原理来检查；例如，观看-3abb-2abc-1是否等于2 33 22-3ab +6a b c+3ab，从而检查分解是否正确以及丢项漏项；22例 3分解因式3a b2x-y-6aby-2x分析：由于y-2x=-2x-y,就是说 y-2x与 2x-y 实质上是相同因式，因此此题的公因式是 3ab2x-y.2解： 3a b2x-y-6ab2y-2x22=3a b2x-y+6ab2x-y=3ab2x-ya+2b评注： 此题的公因式是多项式，此类型题只要把2x-y看作一个整体即可；另外，留意因式分解的结果，单项式写在多项式的前面； 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - -名
5、师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 4分解因式： 2aa-b3-a 2a-b2+abb-a22222分析：要找出这三个项的公因式；由于b-a=-a-b=a-b，因此 a-b式，分解结果有相同的因式要写成幂的形式；就是公因解： 2aa-b=2aa-b-a a-b3322-a a-b+abb-a2222+aba-b=aa-b22a-b-a+b2=aa-ba-b3=aa-b.评注： 多项式中的公因式，有些比较简洁，有些就比较复杂，需要进行些运算才能发觉公因式，但不能生搬硬套；记住下面结论是有益的；当 n 为奇数时， x-yn=-y-xn;nn当
6、 n 为偶数时， x-y=y-x.23例 5不解方程组求 7yx-3y-23y-x的值；23分析：先把7yx-3y-23y-x进行因式分解，再将2x+y=6 和 x-3y=1 整体代入；解： 7yx-3y=7yx-3y23-23y-x23+2x-3y2=x-3y7y+2x-3y=x-3y22x+y2原式 =1 6=6评注：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中常常运用；200019991998例 6求证： 3-4 320001999+1031998能被 7 整除；分析：先把3-4 3+10 3200019991998因式分解证明： 3-4 3+10 319982=33 -4 3+10199
7、8=7 31998 32000-4 31999+10 3能被 7 整除；（三）、练习一、挑选题：2232（ 1）在以下四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（）A 、-5xy =-5xyxyB、x -4-3x=x+2x-2-3xC 、ab2-2ab=abb-2D 、x-3x+3=x2-933（ 2） 49a bc+14a b c-21abc 在分解因式时，应提取的公因式是（）2222222 22 2 233A 、7abcB 、7ab cC、7a b cD、7a bc（ 3）把多项式3mx-y-2y-x2 分解因式的结果是（）A 、 x-y3m-2x-2yB 、 x-y3m-2x+2y
8、C 、 x-y3m+2x-2yD 、 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -y-x2x-2y+3m（ 4）在以下各式中： a-b=b-a;22 a-b=b-a; a-b2=-b-a2; a-b a-b=b-a33;33=-b-a; a+ba-b=-a+b-a-b正确的等式有（）A 、1 个B 、 2 个C、3 个D、4 个3（ 5）在分解 -5x3a-2b+2b-3a时，提出公因式-3a-2b后，另一个因式是（）2333322A 、5xB 、5x +1C、5x -1D 、-5x（ 6
9、）以下各组代数式中没有公因式的是（）2222A 、 5ma-b 与 b-aB 、a+b与-a-bC、mx+y 与 x+yD、-a+ab 与 a b-ab（ 7）以下各题因式分解正确选项（）23 2322A 、3x -5xy+x=x3x-5yB、4xy -6xy z=-2xy2x -yz+3322222C、3aba-b-6aa-b=3a-bab-2aD、-56xyz+14xy z-21xyz =-7xyz8x-2xy+3yz1999（ 8）把 -21999+-22000分解因式后是（）1999A 、2B 、-2C 、 -2D 、 -1n+2（ 9）把 3a+15an-1-45a分解因式是（）-1
10、A、3an+2n-13a+5a-15annnaB、3a a2-13+5a-15C、3an-1+5-15aD 、 3an-1+5-15a 答案 :1.C2.A3. B4. C5.C6.C7.D8.A9.D二、填空题：2 2 3231单项式 -4a b c ， 12ab c, 8ab33的公因式是 ；2多项式9x y-36xy+3xy 提取公因式 后，另一个因式是 ；2nn3多项式8x-4x提取公因式后，括号内的代数式是 ；24分解因式：xm-na-b-yn-mb-a= . 5分解因式：xx+yx-y-xy+x= .6 2yx-2-x+2分解因式 ； 答案 ：1. 4ab 22. 3xy, 3x2
11、-12y 2+13. 2xn-14. m-na-bx-y5. -2xyx+y6. x-22y-1 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -三、解答题：1把以下各多项式分解因式52 32(1) ab-a b +a b2 -7x2y-14xy 2+49x2y 2223 x+ya2+a+1-x-ya2+a+1234 18xx-2y-24xy2y-x-12x2y-x5 xx+y-z+yx+y-z+zz-x-y226 y2x-y-2xy-2x2运算以下各式1 7.6 200.1+4.3 200.1-1.9 200.11192 10-5 103先化简，再求值；43342(1) 已知 2x-y=, xy=2,求 2x y -x y 的值；
