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1、学习好资料欢迎下载利用定积分证明数列和型不等式我们把形如为常数 或的不等式称之为数列和型不等 式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式如利用定积分的几何意证明，就可达到以简驭繁、以形助数的解题成效.下面举例说明供参考.一、为常数 型例12007年全国高中数学联赛江苏赛区其次试其次题 已知正整数，求证.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解 . 如由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，就可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造
2、函数并作图象如图1 所示 .因函数在上是凹函数，由函数图象可知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图 1学习好资料欢迎下载即，由于，所以.所以.例 2 求证.证明构造函数，又，而函数在上是凹函数， 由图象知， 在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图 2即，学习好资料欢迎下载所以.例 3 证明；证明构造函数，因，又其函数是凹函数，由图3 可知，在区间上个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图 3即.所以.二、型学习好资料欢迎下载例 4 如，求证 :.证明不等式链的左边是通项为的数列的前项之和，右边通项为的数列的前项之和，中间的可当作是某数列的前项之和 .故只要证当时这三个数列
3、的通项不等式成立刻可 .构造函数，由于，作的图象， 由图 4 知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1 为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式成立，从而所证不等式成立.图 4例 5（ 2021 年高考湖北卷理科第21 题）已知函数的图象在点处的切线方程为.学习好资料欢迎下载（）用表示出；（）如在内恒成立，求的取值范畴；（）证明 :.此题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、 难度大、 思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用其次问的结论证明也可用定积分来证明.证明 （ ） 不等式左边是通项为的数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和，就当时，此式适合，故只要证当时，即，也就是要证.由此构造函数，并作其图象如图5 所示 . 由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即.学习好资料欢迎下载图 5而，所以，故原不等式成立.
