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1、山东省烟台市大脉中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x22x，则函数g（x）=f（x）+1的零点的个数是（）A1B2C3D4参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数f（x）的解析式，利用函数零点的定义进行求解即可【解答】解：若x0，x0，则f（x）=x2+2x，f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=x2+2x=f（x），即f（x）=x22x，x0，当x0时，由g（x）=f（x）+1=0得x
2、22x+1=0，即（x1）2=0，得x=1，当x0时，由g（x）=f（x）+1=0得x22x+1=0，即（x2+2x1=0即（x1）2=2，得x=1+（舍）或x=1，故函数g（x）=f（x）+1的零点个数是2个，故选：B【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键2. 设是等差数列an的前n项和，则的值为( )A. B. C. D. 参考答案：D略3. 已知正项等比数列an满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）ABCD参考答案：B设正项等比数列的公比为，且，由，得，化简得，解得或（舍去），因为，所以，则，解得，所以，当且仅当时取等号，此时，解
3、得，因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当，时，取最小值为，故选B4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3xy=0上，则等于( )ABC0D参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值 【专题】三角函数的求值【分析】利用三角函数的定义，求出tan，利用诱导公式化简代数式，代入即可得出结论【解答】解：角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3xy=0上，tan=3，=，故选：B【点评】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，正确运用三角函数的定义、诱导公式是关键5. 某程序框图如图所示，若程序运行后输出S的值是25，则图中判断框处可填入的
4、语句是（ ）ABCD参考答案：B6. 已知向量与向量的夹角为，则（ ）A. B. C. D.参考答案：D试题分析： ，当然也可数形结合考点：向量的模7. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）A B2 C D参考答案：D8. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，2），且f（m2）1，则m的取值范围是（）Am1或m3B1m3Cm3Dm3参考答案：D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】由条件利用幂函数的定义，求得函数的解析式，再根据函数的单调性求出m的范围【解答】解：设幂函数f（x）=x，由它的图象过点（，2），可得=2，解得=3，所以f（x）=x3；再根据f（m2）1，得（
5、m2）31，解得m3，所以m的取值范围是m3故选：D9. 已知等差数列an满足则有 （ ） A B C D参考答案：答案：B 10. 已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比q是小于1的正有理数。若，且是正整数，则q的值可以是（ ） A. B.- C.- D.参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在400ml自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率是_。参考答案：0.00512. 在中，角所对的边分别为，则周长的取值范围是_.参考答案：考点：余弦定理，基本不等式，三角形的性质13. 已知数列an的前n项和为Sn，满足
6、，则an =_参考答案：【分析】由数列满足，则，两式相减可得，化简得，得到数列表示首项为，公比为的等比数列，即可求解.【详解】由题意，数列满足，则，两式相减可得，即整理得，即，即，当时，即，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，所以.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答根据数列的递推公式和等比数列的定义，得到数列表示首项为，公比为2的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14. 数列满足，数列的前项和记为，若有对任意的恒成立，则正整数的最小值为_参考答案：11考点：1.数列的递推公式；2.数列的函数性.【易错点睛】本题
7、考查了由数列的递推公式求数列的通项公式，属于中档题型，易错点在，如何根据这个式子计算数列的单调性，判断函数的单调性，这样问题就迎刃而解了.15. 在中，则 .参考答案：3，或16. 如图，在凸四边形ABCD中，,则四边形ABCD的面积最大值为_.参考答案：17. 文渊阁本四库全书张丘建算经卷上（二十三）：今有女子不善织，日减功，迟初日织五尺，末日织一尺，今三十日织訖问织几何？意思是：有一女子不善织布，逐日所织布按等差数列递减，已知第一天织5尺，最后一天织1尺，共织了30天问共织布 参考答案：90尺【考点】85：等差数列的前n项和【分析】已知递减的等差数列an，a1=5，a30=1，利用求和公式
8、即可得出【解答】解：已知递减的等差数列an，a1=5，a30=1，故答案为：90尺三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 若的图象关于直线对称，其中（I）求的解析式；（II）将的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍，（纵坐标不变）后得到的的图象；若函数的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a的值.参考答案：略19. （本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底ABCD是矩形，PA平面ABCD，AD2，AB1，E，F分别是AB，BC的中点。（1）求证：PFFD；（2）在PA上找一点G，使得EG平面PFD；（3
9、）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值。参考答案：（1）连接AF，则AF，DF，又AD2，DF2AF2AD2，DFAF 2分又PA平面ABCD，DF平面ABCDDFPA， 3分又PAAFA， 4分（2）过点E作EHFD交AD于点H，则EH平面PFD且AHAD5分再过点H作HGDP交PA于点G，则HG平面PFD且AGAP， 6分平面EHG平面PFDEG平面PFD 7分从而满足AGAP的点G为所求 8分 （3）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA平面ABCD ， 所以是与平面所成的角又由已知可得，所以， 所以9分设平面的法向量为，由得，令，解得：，所以 10分又因为，所以
10、是平面的法向量，11分所以由图知，二面角的余弦值为 12分20. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E参考答案：（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB=B
11、C，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因为BE?平面ABC，所以CC1BE.因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因为C1E?平面A1ACC1，所以BEC1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.21. 如图1，直角梯形中，分别为边和上的点，且，将四边形沿折起成如图2的位置，使求证：平面； 求平面与平面所成锐角的余弦值。参考答案：解：（1）取DE中点G，连接FG,AG，CG. CFDG,所以FGCD. CG
12、AB, ,所以AGBC. 所以 平面AFG平面CBD 所以 AF平面CBD 5分另法：取BD中点M，设AFJ交BE于N,连CM，MN.证明CM平行FN.（2）如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以的中点坐标为因为，所以 易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为 由令则，所以面与面所成角的余弦值为. 12分略22. 已知函数f（x）=exax1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为1（）求a的值及函数f（x）的单调区间；（）证明：当x0时，exx2+1；（）证明：当nN*时，参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法【专题】导数的综合应用【分析】（）求出函数的f（x）=exa通过f（x）=ex20，即可求解函数f（x）在区间（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增（）求出f（x）的最小值，化简f（x）1ln4构造g（x）=exx21，通过g（x）0判断g（x）在（0，+）上单调递增，得到g（x）g（0），推出结果（）首先证明：当x0时，恒有令，则h（x）=exx2推出h（x）在（0，+）上单调递增，得到x+ln33lnx利用累加法推出【解答】解：（）由f（x）=exax1，得f（x）=exa又f（0）=1a=1，所以a=2所以
