上海应用技术学院数学实验报告题目：曲柄滑块机构的运动规律姓名：周玲院系：理学院数学与应用数学系学号： 15指导教师： 许建强2021年3月30日目录一、实验目的 2二、实际问题 2三、数学模型 2四、数值积分方式 3五、实验任务 5任务一 5任务二 6任务三 7任务四 错误!未定义书签 一、实验目的本实验要紧涉及微积分中对函数特性的研究通过实验温习函数求导法, Taylor公式和其他有关知识着重介绍运用成立近视似模型并进行数值计算来 研究讨论函数的方式二、实际问题曲柄滑块机构是一种经常使用的 机械结构，它将曲柄的转动转化为滑 块在直线上的往复运动，是气压机、冲 床、活塞式水泵等机械的主机构右 图为其示用意记曲柄的长为r,连杆QP的长为/,当曲柄绕固定点以角速度卬旋转 时，由连杆带动滑块尸在水平槽内做往复直线运动假设初始时刻曲柄的端点 位于水平线段OP上，曲柄从初始位置起转动的角度为8,而连杆QP与夕的锐 夹角为/（称为摆角）在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的转变规律, 确切的说,要研究滑块的位移,速度和加速度关于6的函数关系,摆角P及其角速 度和角加速度关于6的函数关系，进而（1）求出滑块的行程S （即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离）；（2）求出滑块的最大和最小加速度（绝对值），以了解滑块在水平方向上的作使 劲；（3）求出夕的最大和最小角加速度（绝对值），以了解连杆的转动惯量对滑块的 阻碍；在求解上述问题时，咱们假定：r = 100（nvn）J = 3r = 300（/H/n）, co=240（f专/ min）符号说明：，•一曲柄OQ的长；，一连杆PQ的长度；?一摆角（连杆PQ与0P的锐 夹角）；/一角速度；尸一滑块；工一滑块的位移；。
一滑块的加速度三、数学模型取0点为坐标原点，0P方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x,那么可用x表示滑块的位移利用三角关系，当即取得 x = rcos^+7/2 -r2sin2 0 （）由于夕= ,故有dx dx d0 dx ,、—= =co—— （）dt dO dt d0 于是滑块的速度小me-do尸 sin8cosyjl2 -r2sin2 0v =-cor sin ] + ,、J八 —sin? 8 )进而，能够取得滑块的加速度为dv dvCl =——=CD dt dO=-co rcos6 +r(72cos(219) + r2sin4<9)3(/2 一/ sin? e产一样，基于关系式咱们有摆角的表达式式()对t求导，可得由此再得/sin p = rsin，P = arcsiiJ - sin 8/8s /也=rcos<9— = r co cos 6dt dtdp _ rco cosdt I cos/7d1 p rcodt2i n67sin^cos/7-cos^sin p —— dtcos2 P()()()()()()()利用()，不难由上两式导出dp rcocosO- ， = ()小 V/2 -r2sin2^ 和d2p rco1 sin6>(/2-r2)~TT = <)f (/2 -r2 sin2 0)2至此，咱们取得了滑块位移x和连杆摆角夕运动规律中有关变量依托。
的表 达式数值积分方式将位移的表达式()改写为x = rcos^ + /(I -^sin2 O)1一样而言，S是远比1小的数,于是利用(1 + £尸=1 + 々£ +•一，同 < 1取得滑块位移的近似模型为9厂 )%. =rcos6 + / sin" 021从而有相应的近似速度dx dx. d0 ( .八v. = -- = 一! = co - rsin 0 一'dt dO dt2牙 sin(2<9)和近似加速度=一叫 sin 0 — -sin (2^)=-co1 r cos^ + -cos(2^) 、 / )()()()()那个地址的速度为和加速度q是直接对近似位移模型内求导得来的，而不是对I， 和〃的精准表达式（）和（）的近似固然咱们也能够直接从滑块速度的解析式 （）进行近似仍利用公式（）有I\ll2 -r2sin2<9l--^sin26>1 \1 厂・2八1 + --sin^ 02/22l + -^-sin2 02广,八 rsin(2^) r3 sin2 dsin(28) = -a)r sin <9 + ——+ ——21 4户从()动身，乂可得近似加速度)「 八 rcos(20 r5(sin2(20 + 2sin2 ^cos(20a. =-co^r cosO + ——+ ； ——2 I 4/3对摆角P能够利用密级数展开的Maclaurin公式arcsine = £ + — + \s\ < 16取得摆角的近似模型。
粗略一些，能够取()()()把上式代入（），就取得滑块速度的近似模型.c i rcosO v7 =-Grsind 1 + ()（当:较小时可用此式）而必要时能够取=-sin^ + -^sin? （）2 I 6/3相应的近似角速度为以二/cosdt I或近似角加速度为或型=-<40皿+dt1 I彳(sin , e-sin(26)cos)()()()()五、实验任务任务一试用摆角的角加速度的三种表达式，即式()、()和()，取步长为二，r,12I，G的值如前，计算当6e[0,划转变时角加速度的值，并列表加以比较实验程序：function ml_2(t)r=100;1=300;w=240/60*2*pi;aO=-r*wA2*sin(t)*(lA2-rA2)./(lA2-rA2*sin(t).A2).A(3/2)al=-wA2*r*sin(t)/Ia2=-wA2*(r*sin(t)/l+rA3*(sin(t).A3-sin(2*t).*cos(t))/(2*1A3))»inl_l([0:pi/12:pil)运行结果如下:t/rada0/(rad/s*2)al/(rad/s*2)a2/ (rad/s^2)0000pi/122*pi/123pi/124pi/125pi/12pi/27pi/128pi/129pi/1210pi/12llpi/12Pi000从结果中能够看出误差的大小，取决于近似表达式的精度，在利用泰勒公式求 近似模型时，若是展开的精度越高，那么误差就越小，在数据表中也能够看出，华 取得精度比皆高，因此结果与真实值相差的更小。
任务二利用()式，对角摆角的角速度()式和角速度()式进行简化，将结果与 ()~式进行比较，并与上题的计算结果相较较解析： 由式 (1 + £)…，同＜1 ()dp _ rcocosO小 J八―一 sm 2 J能够化简为 = ^[cos6 + ；p~sin(26)sin6 (1.10)zd-py _ r(£T sin 6(12 -r1)“ 俨一八.谒能够化简为d-p rco\l2-r2)( , _ 3r2 . 3 J /…,—二=一 - -I sin6 + —rsin 0 (1.11)dr I3 [ 212 )将化简结果与()~式进行比较，能够发觉有类似的项实验程序：function m2_l(t)r=100;1=300;w=240/60*2*pi;b0=r*w*cos(t)./sqrt(lA2-rA2*sin(t).A2)bl=w*r*cos(t)/Ib2=w*(r*cos(t)/l+rA3*sin(t) .A2.*cos (t)/(2*1A3))b3=r*w/l*(cos(t)+rA2*sin(2*t).*sin(t)/(4*1A2))aO=-r*wA2*sin(t)*(lA2-rA2) ./ (1A2-rA2*sin(t) .A2) .A (3/2)al=-wA2*r*sin(t)/Ia2=-wA2*(r*sin(t)/l+rA3*(sin(t) .A3-sin(2*t) .*cos (t))/ (2*1A3))a3=-r*wA2*(lA2-rA2)/1A3*(sin(t)+3*rA2*sin(t) .A3/ (2*1A2)) 运行结果如下:角速度:t/radb/ (rad/s)bl/(rad/s)b2/(rad/s)b3/ (rad/s)0pi/122*pi/123pi/124pi/125pi/12pi/27pi/128pi/129pi/1210pi/12llpi/12Pi角加速度:t/radaO/(rad/s"2)al/(rad/s^2)a2/ (rad/s^2)a3/ (rad/s^2)00000pi/122*pi/123pi/124pi/125pi/12pi/27pi/128pi/129pi/1210pi/12llpi/12Pi从上表中可看出等与等最接近真值与,祟最接近真值华。
由此看来, 方案三最优任务三 给定一机构如右图所示设连杆 QP长度l=300mm,曲柄0Q的长为 r=100mm,距离e=20mm,曲柄的角速度 w=240转/min对8在一个周期（即 [0,2划）中计算滑块的位移、行程、速 度、加速度和摆角及其最值解析：那个机构的特点是:滑块的运动轨迹仍然在原先的平面上，且与轴线以平 行,但运动轨迹与6有距离e（称为偏心距）o如此进程时刻将与退程时刻不同由于P点始终在直线y = e上，因此咱们只需要考虑滑块在x方向上的位移,不需要再考虑在『轴上的位移取0点为坐标原点，沿x轴向右方向为正，P在 x轴上的坐标为x,用x表示滑块的位移，利用三角关系有:x = ,cos 6 + y/l2 -（rsin0-e）2 （）由于夕=电，故有dx dx dO dx ,、——= =co （）dt do dt de匕求导程序：Cl V» syms r 1 e t» x=r*cos (t)+sqrt(12-(r*sin(t)-e). ^2);» diff (x, t)dx .八 rcos^(e-rsin^)——=-rsin 0 +:de yjl2-(e-rsinO)2()dx .八 rcos6(rsin6-e)——=-r。