第四章 可测函数 (总授课时数 14 学时)由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数—— Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构 .§ 1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义 . 它是一类范围广泛的函数 , 并且有很好的运算封闭性 . 可测函数可以用简单函数逼近 , 这是可测函数的构造性特征 .本节难点 可测函数与简单函数的关系 .授课时数 4 学时1 可测函数定义定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )，若 a R,E[f a]可测，则称f(x)是 E 上的可测函数 .2 可测函数的性质性质 1 零集上的任何函数都是可测函数注： 称外测度为 0 的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质 2 简单函数是可测函数ci ，则称 f (x) 是 E 上的f (x) 在每个 Ei 上取常值n 若 E Ei ( Ei 可测且两两不交)i11其中 E (x) Ei 0EiE Ei简单函数；n f (x) ci Ei (x)i1注： Dirichlet 函数是简单函数性质 3 可测集 E 上的连续函数 f (x) 必为可测函数设 f(x) 为 E 上有限实函数，称 f(x) 在 x0 E 处连续若 0, 0,使得 f(O(x0, ) E) O(f(x0), )对比：设f(x)为a,b上有限实函数，f(x)在xo (a,b)处连续若 lim f (x) f (x0)x x00,0,当 |x x0 | 时，有 | f (x) f (x0) |即 0, 0,当 x 0(X0,)时，有 f(x) O(f(x0),)即 0, 0,使得 f(O(x0, )) O(f(x0),)f (x) 在 x0 [a, b] 处连续 ( 对闭区间端点则用左或右连续 )证明： 任取 x E f a , 则 f x a , 由连续性假设知，对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x, x) E) O(f (x), ) (a, )即。
3x) E E[ f旬.令G 0(x x)则G为开集，当然为可测集，x x E[ f a] x且另外G E ( E O(x, x) ) E E (O(x, x) E) E[f a]x E[ f a] x x E[ f a ] x所以E[f a] (xE O(x,x)) E G E，x[f a]故 E[ f a] G E 为可测集性质4 R中的可测子集 E上的单调函数f(x)必为可测函数证明：不妨设f单调增，对任意a R令1a inf{ x| f (x) a}.由f单调增知下面 的集合为可测集E [Ia,)当 Ia {x | f (x) a}E[f a] E (Ia，)当 Ia {x| f (x) a}3.可测函数的等价描述1 .定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测(即( 1 ) a R, E[ f a] 可测)(2) a R, E[ f a] 可测(3) a R,E[fa] 可测(4) a R, E[ f a] 可测第 2 页(共 15 页)⑸ a,b R,a b,E【a f.可测(充分性要求|f(x)|证明：利用(1)与(4), (2)与(3)互为余集，以及E[fa]n1E[fE[fa]n 1 E[a f a n])E[f ]，E[fa]n1E[fE[af b]E[f a]E[fb]第9页(共15页)E[fa]对前面等式的说明a 1]n[a,i(an 11[a))(a,n1[a))，E[fa]a -] nEn 1 [f」]) n4.可测函数的性质⑴可测函数关于子集、并集的性质若f (x)是E上的可测函数，E1E,E1可测,则f(x)限制在E1上也是可测函数;反之，若E En , f(x)限制在En上是可测函数，则 f x在E上也是可测函数。
n 1E1[f a] E[ f a] E1 E[f a] n 1 En[f a]注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性即： 设 f(x) g(x) a.e. (almost everywhere )于 E, f (x)在 E 上可测，则g(x)在E上也可测,记作 f (x) g(x) a.e.于 E .若m E f g 0,则称f (x) g(x)在E上几乎处处成立证明：令E1 E f a ,E2 EfC],则m& 0,从而g(x)在E1上可测, g g另外f (x)在E2上可测，从而g(x)在E2上也可测，进一步g x在E E1 U E2上也 可测.注：用到了可测函数关于子集、并集的性质⑵ 可测函数类关于四则运算封闭若f(x), g(x)是E上的可测函数，则 f (x) g(x), f (x) g(x), f(x) g(x),f(x)/g(x)仍为E上的可测函数.证明：只要证 a R,Ef ° ai g aE f a g 可测，任取 x Efag，则 fx a g x从而r Q,使 f(x) rg(x),即 xQ(E[f r] E^g ar])从而E[f a g]Q(E[f r]E[gar]),反之r Q(E[fr]E[g a r])E[f a g]也成立，从而E[f a g] (E[ f r]r qE[g a r])可测类似可证：设f x ,g x是E上可测函数，则E[ f g]为可测集.x仍为E上的可测函数.若f x , g x是E上的可测函数，则f x g证明：首先f2在E上可测，因为对任意 aE[f2 a] E[f a]E[f2 即可再利用f x g作业：若f x ,gx是E上的可测函数，则x g x , fx/gx为E上的可测函数⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭若fn x是E上的可测函数，则下列函数仍为E上的可测函数.(x) sup{fn(x)}(x) inf{ fn (x)}limsup fn (x) inf sup{ fm(x)} n n m nliminf fn (x) supinf{ fm(x)}E[ a] n 1E[fn a](连续函数列的极限函数不一定为连续函E[ a] n 1 E[fn a]推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 数)。
对上式的说明：E[ fna](x) inf{ fn(x)} , E[ a]n 1比较:E〃a] n1E[fa』n1E[fan例：R1上的可微函数f x的导函数f ' x是可测函数证明：由于f (x x) f (x) f '(x) lim -f (x lim n1-)f(x) n从而f' x是一列连续函数(当然是可测函数)的极限，故 f' x是可测函数.利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数例 设fn是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集证明：发散点全体为 E［lim fn nl® fn ］；收敛点全体为 nE[limnfn 血fn］再利用nlim fn和lim fn是可测函数即可注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同5.可测函数与简单函数的关系可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限f (x)是E上的可测函数，则f (x)总可表示成一列简单函数n(x)｝的极限f(x) lim n(x),而且还可办到 | i(x)| | 2(x)| L nn(x)K x E , 一2n x [Jn. f Jk_l] k 0,1,2,L ,n 2n 1n x E[f n]注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛作业：P98 3, 4, 6练习题1任何点集E上的常值函数f(x)c, x E是可测函数，对吗?2已知“若f (x)在E上可测，则a R1,E[f a]可测"，反之，若 a R1,E[f a]可测，能断定f(x)在E上可测吗?3从函数f2(x)或f (x)可测能否推出f(x)在E上可测？4由f (x) g(x)可否推出f(x)、g(x)都可测?5能否断定“零集上任何函数均可测”？§ 2叶果洛夫定理教学目的1、深刻理解“几乎处处收敛”，“近一致收敛”(由叶果洛夫定理结论引出) 等概念，弄清它们之间的区别与联系 .2、理解叶果洛夫定理，了解定理的证明 .教学要点“几乎处处收敛”，“近一致收敛”的概念及叶果洛夫定理的内容 .本节难点 叶果洛夫定理的证明.授课时数3学时在数学分析中，我们已经知道，即使函数列在每一点收敛， 也不能保证一致收敛，因此，对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛 ^例：函数列fn(x) xn，n 1,2,L在(0,1)上处处收敛到f(x) 0,但不一致收敛，究其原因是自变量越靠近 0越收敛速度慢，只有更慢没有最慢， 从而不可能一致收敛。
但去掉一小测度集合 1 ,1 ,在留下的集合上一致收敛 著名的俄国数学家叶果落夫( ErOPCDB任何可测函数都有类似结果，即有下述定理成立 ^引理：设mE , fn, f在E上几乎处处有限且可测，若 fn £26.于£,则0,有 Nim m(n N E[|fn f| ]) 0证明：由于E E[|f| ] ( E[|f । ])为手测度集，故不妨令fn, f在E上处处有限，n 1 n1从而有：fn f ae于E mE[f 门 0 m( E 、) 0n ~ fn f] 'k 1 N 1n N [|fn f| T]1m(N1nNE[|fn f|7 0 ( k)m(N । NEnfn . ]) 0 ()N 1n N n从而当mE 时， 0有lim m( E1If f1 ]) m(lim ，f 门】))m( 5 “ ]) 0N n N [|fn f| ] N nN [|ln 1 | ] N 1n N [|1n f| ]定理1(E『OP)D般mE ,fn，f在E上几乎处处有限且可测， 若fn f a.e.于E ,则fn f a.u.于E (即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛)fn f ae.于E,即mE[fn 口 0即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛fn f a.u.于E 即：去掉某个小(任意小)测度集，在留下的集合上一致收敛证明：由引理知 0有(im m( n E1| fn f[ ]) 0 ,从而有-10, 0, N k 0, m( E| J, k , k , 'n N k [|fn f| 7” 2k令 e ( Ef f.ij,则 e可测，e E, k l'n N k [|fn f|，，， ,me m( Elf fl n) kk 1 'n N k F 。