2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷，解析版)题 号考点题U考点1集合的运算12有关平面向量的信息题2复数的运算13程序框图3空间中的点、线、面关系14不等式恒成立问题4函数的性质15三角恒等变换与解三角形5正态分布16直线与圆6平均数与方差17三角恒等变换与图象、性质7定枳分求而枳18数列求和8排列组合应用题19立体几何9等比数列与逻辑用语20概率、分布列与期望10线性规划21圆锥曲线的方程11函数的图象24导数的运算【试卷评析】本套试卷惘绕课程标准中内容主线、核心能力、改革理念命题，考虑了 A、B两种不同版本的教 材的差别,试题注重基础知识、基本技能和基本方法的考查，注意对算法框图、正态分布、案函数 等新增内容进行了考查,对传统内容的考查也适度创新，如改变了传统的向量的考试模式，通过定 义新运算，既新颖又体现数学应用的价值°多数试题都是注重通性通法，有利于考生发挥真实水平, 很好的体现了课程标准的理念重视对常规思想方法的考查，如第5、7、10题，考查数形结合的数学思想，第22题是函数和 导数的综合问题，突出考查函数的思想和分类与整合的数学思想，对推动数学教学改革起到良好的 导向作用° 注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号咎在试题卷、草稿纸上无效3填空题和解答题用0 5亳米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内答在试题卷、草稿纸上无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第I卷(共60分)一、选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.(1) 已知全集U=R,集合M={x x-l <2},则QM二(A) {x -l3} (D) {x|x«-l 或 xN3}【答案】c【解析】因为集合 M= {xlx-11« 2} = {xl-1 < x W 3},全集 U=R ,所以 CuM={xlx<-l或x>3}，故选C.【技巧点拨】首先由绝对值不等式求出集合M,然后利用补集的运算求解即可2)己知"冬=人+，5,初”二=〃 +，(a,b£R),其中i为虚数单位，则a+b二 i i(A)-l (B)l (02 (D)3【答案】B【解析】由上=b与得-2i=bi-lj所以由复数相等的意义知：a=1b=，所以1」故选艮 i【技巧点拨】本题将方程的两边同秘：，然后利用复数相等的条件求解a、b,也可先化简—，然后再求解a、K ••(3)在空间，下列命题正确的是(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平而平行
技巧点拨】本题可以采用举反例的方法予以排除4)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x20时,f(x) = 2'+2x+b(b为常数)，则f (-1)二(A) 3 (B) 1 (0-1 (D)-3【答案】L【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=2°+2NO+b=0,解得b=-l,所以当 x之0时，f(x)=¥+2x-l,即-(2】+2xld)=-3,故选D.【技巧点拨】首先利用奇函数的性质了(0) = 0求出参数b的值，然后利用/(-M=-/仁)求函数的 值(5)已知随机变量Z服从正态分布N (0, ?)，若P(Z>2)=0.023,则P(-22)=0.023 , 所 以 P(4v-2)=0.023 , 所 以P(-2<^<2)= l-P«>2)-P(^<-2> 1-2x0.023=0. 954,故选 C.【误区警示】本题在解答时极易忽视了正态曲线的对称性而导致解题错误，采用数形结合的掌握 好正态分布的对称性是解答本题的关键。
(6)样本中共有五个个体，其值分别为a, 0,1, 2, 3,,若该样本的平均值为1,则样本方差为(A)够 (B) 1 (0 & (D)2【答案】D【解析】由题意知[(a+0+1+2+3)= 1,解得a=-1,所以样本方差为S2 = l[(-l-l)2+(0-l)2+(l-l)2+(2-l)2+(3-l)2]=2,故选 D.(7)由曲线y=x2f y二炉围成的封闭图形而积为【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为J：(x2-x3)dX=Lxl-』xl='，故选A3 4 12[规律总结】画出两曲线所围成的图形是解决问题的关键8)某台小型晚会由6个在目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、方目乙不能排 在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(A) 36 种 (B) 42 种 (048 种 (D) 54 种【答案】B 【解析粉两类;第一类;甲排在‘第一位，共有A：=24种排法;第二类;甲排在第二位，共有Cg-A：=18种妹法，所以其有编排方案24 + 18 =42种，故选【妇纳行】本题是有限制条件的择列、组合1可题，解决本题的关犍是对甲进行合理的分类.(9)设(aQ是等比数列，则“a：Va；VaJ是数列｛4｝是递增数列的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知由va2〈a3,则设数列｛aj的公比为q,因为叫<22<%，所以有为 <2平@4，解得q>l,且为>0,所以数列｛aj是递增数列：反之，若数列｛aj是递增数列，则公比q>l且为>0,所以asaiqva^,即西〈2产23，所以是数列｛aj是递增数列的充分必要条件。
思维拓展】对充分必要条件的判断，就是看由条件是否推出结论，由结论是否推出条件，在解答 此类问题时一定要注意，本题极易误选B0.x- y + 2>o,(10)设变量X、y满足约束条件rX-5)，+ 1040,,则目标函数广3x-4y的最大值和最小值分别为 x+y-8<0,(A) 3, -11(Oil, -3(B) -3, -11 (D)ll,3 【答案】A【解析】画出可行域如图所示！平移直线z=3x_4y,当直线经过工—5p + 10与x+p—g= 0的交点(5, 3)时，目标函敷z=3x_4y取得最大值3；当直线z=3xTy经过x+j-8 = 0与x-j, + 2 = 0的交点(3, 5)时，目标函数 z=3x」y取得最小值T1,故选限【规律总结】对于线性规划问题，正确画出可行域，在可行域内准确平移目标函数所在的直线是解 题的关疑对于此类问题，也可以利用直线在V轴上的截距解答■(11)函数产2*-Y的图像大致是【答案】A【解析】显然2、4是函数的零点，所以排除C；当xT-R时，根据指数的数与福函数留索的变换趋势知J"故选4【规律总结】本题是一个识图题，直接无法判断函数的图鬃的变化趋势，因此我们可以借助于函数 的零点与察函数与指数函数图莪噌长快慢的关系求解(12)定义平而向量之间的一种运算如下:对任意的a =(m〃),b = (p,q)令a©b = mq - np,下而说法错误的是(A)若a与£>共线，则aOb=0
6)(D) (aOb)、(a-b尸巾(怵【答案】B［解析】若a 1 j b > ,川仃a 0 6=mq-np=O ,故A卜曲:因为60a = pn-qm ,而 ao6=mq-np ,所以仃aG>6 w6oa ,故逃现B错误，故选【技巧点拨】对于此类信息思，抓住题目中所反映的aob = /〃〃-〃〃 I解题的关键,二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)执行右图所示的程序框图，若输入x = 10,则输出y的值为[WJ/京7/输出y/J :1结束〕【答案】二4【解析】当时10时，y=4, |4-10| = 6>1,此时x=4；当 x=4 时，产1, |1-4| = 3>1,此时 x=l：当工=1时，y=1 3—--1 = — > 1 t 此时 x二———+ —4 23 5=L：故此时输出厂石【技巧点拨】对于这类循环结构的问题，我们可以将所有的X、y的值一一代入.进行循环验证x(14)若对任意xX), 一 恒成立，则的取值范围是 .厂 +3x + l【答案】［4一)【解析】因为X>0,所以 丁/一 =一!一
应，b = 2, sin 8 + cos8 = ,则角A的大小为 . 【答案】- 6【答案】由 sinB + cos8=6siMB4；)=表得 sin(B + ：) = l,所以方=(.a d /B . asinB "闯“了 1 57T ，―一、由正弦正理 = sin A = 一；一 = =-，所以房 一或一(舍去)sin A sin.5 b 2 2 6 6【方法点拨】首先利用三角恒等变换将已知条件转化为“n(8+2) = L在三角形卬可求出角B,然 4后利用正弦定理可直接求解角几(16)已知圆过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上，直线/： y = x -1被圆所截得的弦长为2五， 则过圆心且与直线/垂直的直线的方程为.【答案】x+y-3 = 0【答窠】设圆心为30)，则圆心到直线Y-y-1 =0的距离为目=/因为圆截直线所得的弦长20，根据半弦、半径、蕊瀛盛间的关系有(1? 42=6-1)、即 3-1）:= 4 9 所以 a = 3 或 a = -1 （舍去） 所以过圆心(3,0)且与直线万一「一1二0垂直的直线为》=一0一3),即工十「一3二0【思绢6展】解决本题的关建是利用圆的半径、甚心艮孰半弦长的关系列出方程求出圆心的坐标。
在有关圆的弦长问题中，半弦、半径、菰心距三者之间的关系是经常用到的 三、解答题：本大题共6小题，共74分.（f(17)(本小题满分12分)已知函数 /（x） = -sin2xsin^? + cos22 xcos^?- -sinl — +（p（0<*<4），其图象过点（>，L ）. 。