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1、学习必备欢迎下载数列求和的类型及方法一、分组求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。例: Sn=-1+3-5+7- +(-1)n(2n-1) 解法:按n 为奇偶数进行分组,连续两项为一组。当 n 为奇数时:Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+ +(-2n+1) =221n+(-2n+1) =-n 当 n 为偶数时:Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+ +(-2n+3)+(2n+1) =22n=n Sn=练习:求数列的前n 项和:231,71,41, 1112naaan,解:
2、设)231()71()41() 11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn(分组)当 a1 时,2) 13(nnnSn2) 13(nn(分组求和)当1a时,2) 13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan二、错位相减这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列2nbn 的前 n 项和,其中 2n 、 bn 分别是等差数列和等比数列。例:求数列2,222,323,424,n2n, 的前 n 项和。解:Sn=2+2 22+323+424+ n2n2Sn= 22+2 23+3 24+n2n+1-n (n
3、为奇数 ) n ( n 为偶数)学习必备欢迎下载(1-2) Sn=2+ 22+ 23+2n- n2n+1=1122212nnn11 22()nnSn练习:求数列,22,26,24,2232nn前 n 项的和 . 解:由题可知,nn22的通项是等差数列2n 的通项与等比数列n21的通项之积设nnnS222624223214322226242221nnnS(设制错位)得1432222222222222)211 (nnnnS(错位相减)1122212nnn1224nnnS三、倒序相加法如果一个数列中,与首末两端“等距离”的两项之和(或“系数”之和 )等于首末两项之和(或等于首末两项“系数”之和),
4、那么就可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加,从而可求出数列的前 n和例 8 已知函数11( )31xf x,数列na中,123123( ),( ),( )afafafnnn,( )kkafn,11(),( )nnnnafafnn,求数列na的前 n 项和nS解:1111( )(1)3131xxf xfx=1111313113xxx,123()( )( )nSfffnnn+1()nfn+()nfn,设1231( )( )( )()nSffffnnnn把上式右边倒序得:1221()()( )( )nnSffffnnnn两式相加得11222( )()( )()nnSffffnnnn+ +11(
5、)()nffnn=1nn,2nS1( )(1)(1)22nnnSSffnn学习必备欢迎下载四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如:例:求数列311,421,531,)2(1nn,的前n 项和 S 解:)2(1nn=211(21nn)Sn=)211()4121()311(21nn=)2111211 (21nn=42122143nn例 4 求数列11nn的前 n 项和nS解:因为1nann,所以nS=(21)+(32)+(43)+ +(1nn)=11n例5已知数列na的前
6、 n 项和nS满足:20nnSSnn,求数列11nnaa的前 n 项和nT解:由已知得()(1)0nnSnSn,所以0nSn,即2nSn1111naS当时,当 n2 时, 221(1)nnnaSSnn=2n-1所以,数列na的通项公式为21nan因为11nnaa1(21) (21)nn111()2 2121nn所以,nT111 11(1)()232 35111()2 2121nn学习必备欢迎下载=11(1)22121nnn解析:要先观察通项类型,在裂项求和,而且要注意剩下首尾两项,还是剩下象上例中的四项,后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。五、通项分析法通过对数列的通项进行分析、整理,从中发现数列求和的方法,这也是求数列前n 项和的一种基本方法例9已知数列na中,21231,121,12221 ,aaa23241222221 ,a求数列na的前 n 项和nS解:数列na的通项公式是:21212222nnna222121(1222)n23(22nn2221)112121212nn1(21)(21)nn13 22n,2(3 12)(3 22)(3 22)nS+ 1(3 22)n213(1 222)2nn3(12 )23 23212nnnn