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1、学习必备欢迎下载超难压轴题参考答案与试题解析一解答题（共7 小题）1 （ 2013?东城区一模）问题1：如图 1，在等腰梯形ABCD 中， AD BC，AB=BC=CD ，点 M，N 分别在 AD ，CD 上，若 MBN=ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题 2：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=BC ，ABC+ ADC=180 ，点 M，N 分别在 DA ，CD 的延长线上，若MBN= ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明考点 ：等 腰梯形的性质；全等三角形的判定与
2、性质2287988分析：（1）先判定梯形ABCD 是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得A+BCD=180 ，再把 ABM 绕点 B 顺时针旋转使点A 与点 C 重合，点 M 到达点 M ，根据旋转变换的性质， ABM 和CBM 全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM ，BM=BM ，根据全等三角形对应角相等可得A= BCM ，ABM= M BC，然后证明 M 、C、N 三点共线，再利用“ 边角边 ” 证明 BMN 和 BM N 全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）在CBN 内部作 CBM =ABM 交 CN 于点 M，然后证明 C=BAM ，再利用 “ 角边角 ” 证明 AB
3、M 和 CBM 全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM ，BM=BM ，再证明 MBN= MBN ，利用 “ 边角边 ” 证明 MBN 和 M BN 全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M N，从而得到MN=CN AM 解答：解 ： （1）MN=AM+CN理由如下：如图， BCAD ，AB=BC=CD ，梯形 ABCD 是等腰梯形， A+BCD=180 ，把 ABM 绕点 B 顺时针旋转90 到 CBM ，则 ABM CBM ，AM=CM ，BM=BM ， A= BCM ， ABM= M BC，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
4、 - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 BCM +BCD=180 ，点 M 、C、N 三点共线， MBN=ABC ， M BN= M BC+CBN= ABM+ CBN= ABC MBN= ABC ， MBN= M BN ，在 BMN 和BM N 中， BMN BM N（SAS） ，MN=M N，又 M N=CM +CN=AM+CN ，MN=AM+CN ；（2）猜想的结论：MN=CN AM 理由如下：如图，作CBM =ABM 交 CN 于点 M ， ABC+ ADC=180 ， BA
5、D+ C=360 180 =180 ，又 BAD+ BAM=180 ， C=BAM ，在 ABM 和CBM 中， ABM CBM （ASA ） ，AM=CM ，BM=BM ， MBN=ABC ， M BN= ABC （ ABN+ CBM ）=ABC （ ABN+ ABM ）=ABC MBN=ABC ，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 MBN= M BN ，在 MBN 和M BN 中， M
6、BN M BN （SAS） ，MN=M N，M N=CN CM =CNAM ，MN=CN AM 点评：本 题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把MN 、AM 、CN 通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高2 （ 2007?牡丹江）已知四边形ABCD 中，AB=BC ， ABC=120 ， MBN=60 ， MBN绕 B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC（或它们的延长线）于E，F当 MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1） ，易证 AE+CF=EF ；当 MBN
7、绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明考点 ：全 等三角形的判定与性质2287988专题 ：几 何综合题；压轴题分析：根 据已知可以利用SAS 证明 ABE CBF ，从而得出对应角相等，对应边相等， 从而得出 ABE= CBF=30 ， BEF 为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF 同理图 2 可证明是成立的，图3 不成立解答：解 ：ABAD ，BCCD，AB=BC ，AE=CF ，在 ABE 和 CBF 中
8、， ABE CBF（SAS） ； ABE= CBF，BE=BF ； ABC=120 ， MBN=60 ， ABE= CBF=30 ，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载AE=BE，CF=BF； MBN=60 ，BE=BF ， BEF 为等边三角形；AE+CF=BE+BF=BE=EF ；图 2 成立，图 3不成立证明图 2延长 DC 至点 K，使 CK=AE ，连接 BK，在 BAE 和 BC
9、K 中，则 BAE BCK ，BE=BK ， ABE= KBC ， FBE=60 ，ABC=120 ， FBC+ABE=60 ， FBC+KBC=60 ， KBF= FBE=60 ，在 KBF 和 EBF 中， KBF EBF，KF=EF，KC+CF=EF ，即 AE+CF=EF 图 3 不成立，AE、CF、EF 的关系是 AECF=EF精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载点评：本 题主要考
10、查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS 等，这些方法要求学生能够掌握并灵活运用3如图 1，以 ABC 的边 AB、 AC 为边分别向外作等腰直角ABD 和等腰直角ACE，连接 CD、BE、DE （1）证明： ADC ABE ；（2）试判断 ABC 与 ADE 面积之间的关系，并说明理由；（3）园林小路，曲径通幽，如图2 所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地（a+2b）平方米（不用写过程）考点 ：全 等三角形的应用；等腰直角三角形2287988分析：（1） （
11、1）由三角形ABD 与三角形 ACE 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等， 两三角形的内角都为60 ，利用等式的性质得到DAC= BAE ，利用SAS 可得出 DAC BAE，得证；（2）过点 C 作 CM AB 于 M，过点 G 作 GNEA 交 EA 延长线于N，得出 ABC与 AEG 的两条高，等腰直角三角形的特殊性证明ACM AGN ，是判断 ABC与 ADE 面积之间的关系的关键；（3）同（2）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共占地多少平方米解答：解 ： （1）证明： ABD 和 ACE 都为等边三角形，AD=AB ，AE
12、=AC ， DAB= EAC= AEC= ACE=60 ， DAB+ BAC= EAC+ BAC ，即 DAC= BAE ，在 DAC 和 BAE 中， DAC BAE （SAS） ；（2） ABC 与ADE 面积相等 ABD 和 ACE 都是等腰直角三角形， BAD= CAE=90 ， AB=AD ，AC=AE ， BAD+ CAD+ BAC+ DAE=360 ， BAC+ DAE=180 ，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - -
13、- - - - - - 学习必备欢迎下载 DAE+ EAN=180 ， BAC= EAN ，在 ACM 和AEN 中，CM=EN ，SABC=AB ?CM ，SADE=AD ?EN，SABC=SADE；（3）由（ 2）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和这条小路的面积为（a+2b）平方米，故答案为：（a+2b） 点评：本 题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系，解决问题 由正方形的特殊性证明ACM ANE ， 是判断 ABC 与 ADE面积之间的关系的关键4如图 1，已知 ABC 中， AB=BC=1 ， ABC=90 ，把一块含3
14、0 角的直角三角板DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF） ，将直角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针方向旋转（1）在图 1 中， DE 交边 AB 于 M，DF 交边 BC 于 N 证明： DM=DN 在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与 ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积（2）继续旋转至如图2 的位置，延长AB 交 DE 于 M，延长 BC 交 DF 于 N，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由精品p d
15、f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点 ：全 等三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰直角三角形2287988分析：（1）连接 BD ，求出 BD=DC ， MDB= CDN， C=ABD=45 ，根据 ASA 证MBD NCD ，根据全等三角形的性质推出即可；根据全等得出MBD 和NCD 的面积相等，求出四边形DMBN 的面积等于 BDC 的面积，求出即可；（2）连接 BD ，求出 BD=DC ，M
16、DB= CDN， C=ABD=45 ，根据 ASA 证MBD NCD ，根据全等三角形的性质推出即可解答：（1）证明：连接 DB ，在 RtABC 中，AB=BC ，AD=DC ，BD=DC=AD ， BDC=90 ， ABD= C=45 ， MDB+ BDN=90 ， BDN+ CDN=90 ， MDB= CDN ，在 MBD 和NCD 中， MBD NCD（ASA ）DM=DN ；解：四边形DMBN 的面积不发生变化，由知： MBD NCD ，SMBD=SNCD，S四边形DMBN=SDMB+SBDN=SCND+SBDN=SBDC=SABC= 1 1=；（2）DM=DN仍然成立，证明：连接DB，在 RtABC 中，AB=BC ，AD=DC ，DB=DC ， BDC=90 ， DCB= DBC=45 ， DBM= DCN=135 ， NDC+ CDM=90 ， BDM+ CDM=90 ， CDN= BDM ，在 CDN 和 BDM 中精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -
