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1、可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第十二章 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26例1. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t =
2、 T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初初速度为0, 且对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程20
3、21/12/26例3. 求解解: 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26例4. 绳索仅受重力作用而下垂,解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26则得定解问题
4、: 原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬 链 线机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26三、型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26例5. 求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26M : 地球质量m : 物体质量例6. 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解:
5、 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26两端积分得因此有注意“”号机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26由于 y = R 时由原方程可得因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 解方程可得问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .则定解问题为机动
6、目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26例7. 解初值问题解: 令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例8.二阶可导, 且上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以解:于是在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .积记为( 99 考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26再利用 y
7、(0) = 1 得利用得两边对 x 求导, 得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26思考与练习1. 方程如何代换求解 ?答: 令或一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.例6例7机动 目录
8、 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26 P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4 作业 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26速度大小为 2v, 方向指向A , 提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有去分母后两边对 x 求导, 得又由于设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 备用题的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (1, 0 ) 出发, 试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26代入 式得所求微分方程:其初始条件为机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程D126降阶微分方程2021/12/26
