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1、1 人教版八年级第二学期数学知识点二次根式1 二次根式： 一般地，式子)0a(,a叫做二次根式 . 注意： （1）若0a这个条件不成立，则a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a0. 2重要公式：（1）)0a(a)a(2, （2）)0a(a)0a(aaa2；注意使用)0a()a(a2. 3积的算术平方根：)0b,0a(baab，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4二次根式的乘法法则：)0b,0a(abba. 5二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分
2、别平方，然后比大小. 6商的算术平方根：)0b,0a(baba，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7二次根式的除法法则：（1）)0b,0a(baba；（2）)0b,0a(baba；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式 . 8常用分母有理化因式：aa 与，baba与，bnambnam与，它们也叫互为有理化因式 . 9最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、
3、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题； （2）隐含条件题； （3）讨论条件题. 11同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
4、 - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 2 （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 勾股定理勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a， b，斜边为 c ，那么222abc勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出
5、了“ 勾三，股四，弦五” 形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下 ：方法一： 4EFGHSSS正方形正方形 ABCD，2214()2abbac ，化简可证222abc方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2S
6、abaabb所以222abc方法三：1() ()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证：222abc.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中，90C， 则22cab，22bca，22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a， b ， c 满足222abc ，那么这个三
7、角形是直角三角形，其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab 与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ， b ， c为三边的三角形是直角三角形；若222abc ，时，以 a ，b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；若222abc ，时，以 a ， b， c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中a ， b ， c 及222abc 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ， b ， c 满足222acb ，那么以 a ， b， c 为三边的三角形
8、是直角三角形，但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 3 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc 中， a， b ， c 为正整数时，称a ， b ，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度
9、，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾
10、股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：ABC30DCBAADBC10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。四边形1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360；（2）四边形的外角和等于360. 2多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180 ；（2）任意多边形的外角和等于3
11、60. 3平行四边形的性质：因为 ABCD是平行四边形.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ABCD1234ABCDABDOC精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 4 4. 平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD54321. 5. 矩形的性
12、质：因为 ABCD是矩形.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（6. 矩形的判定：边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321四边形 ABCD 是矩形 . 7菱形的性质：因为 ABCD是菱形.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（8菱形的判定：边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形 . 9正方形的性质：因为 ABCD是正方形.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ABDOCA
13、DBCADBCADBCOADBCO精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 5 CDAB（1）ABCDO（2）10正方形的判定：一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形 ABCD 是正方形 . (3)ABCD是矩形又 AD=AB 四边形 ABCD 是正方形11等腰梯形的性质：因为 ABCD是等腰梯形.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（12等腰
14、梯形的判定：对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321四边形 ABCD 是等腰梯形 (3)ABCD 是梯形且AD BC AC=BD ABCD 四边形是等腰梯形13三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半 . EDCBAABCDOABCDOCDAB精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 6 14梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 一基本概念： 四边形，
15、四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二定理： 中心对称的有关定理1关于中心对称的两个图形是全等形. 2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三 公式：1S菱形 =21ab=ch. （a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长，h 为 c 边上的高）2S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h 为 a 上的高）3S梯形 =21（a+b）h=Lh. （
16、a、b 为梯形的底， h 为梯形的高 ,L 为梯形的中位线）四 常识：1若 n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n(n. 2规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. 4常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 . 注意：线段有两条对称轴. 5梯形中常见的辅助线：ABEFDECABDCABDCABDC中点中点EFFABDCABDCABDCABDC中点中点GFEEEEEFDABC平行四边形矩形菱形正方形精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 7 平移与旋转平移与旋转旋转1.旋转的 定义 ：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。2.旋转的 性质 ：旋转后得到的图形与原图形之间有
