数学模型和数学建模

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1、数学模型和数学建模(河北理工大学数学建模基地)1. 系统与模型11系统：(1) 定义：按照某些规律结合起来，具有某些特定功能，互相作用、互相依存的若干实 体的集合或总和。其实，现实世界中的一切事物都符合“系统”的含义。在定义一个系统时，首先要确定系统的边界。尽管世界上的事物是相互联系的，但当我 们研究某一对象时，总是要将该对象与其环境区别开来。边界确定了系统的范围，边界以外 对系统的作用称为系统的输入，系统对边界以外的环境的作用称为系统的输出。系统二原型，所谓原型(Prototype)就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事 物(或对象).在科技领域常常把所考察的原型用“和系统皿*过程

2、等术语代之，如机械系统、 电力系统、通信系统、生态系统、生命系统、经济系统、管理系统；化学反应过程，钢铁冶 炼过程，生产销售过程，计划决策过程，污染扩散过程等等.(2) 特征：系统具有两个基本特征：整体性和相关性。整体性是指系统作为一个整体存 个而表现出某项特定的功能，它是不可分割的。相关性是指系统的各个部分、元素之间是相 互联系的，存在物质、能量与信息的交换。(3) 分类:略(4) 描述：尽管世界上的系统千差万别，但人们总结出描述系统“三要素”，即实体、属 性、活动。实体确定了系统的构成，也就确定了系统的边界；属性也称为描述变量，描述每 一实体的特征；活动定义了系统内部实体之间的相互作用，从

3、而确定了系统内部发生变化的 过程。12模型：(1) 定义：所谓模型(model)是指：对于现实世界的一个特定对象，为了某个特定目的 将原型所具有本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。例如：玩具、 照片、地图、图纸、分子结构图、水箱中的舰艇、风洞中的飞机等等。首先，模型必须是现实系统的一种抽象，它是在一定假设条件下对系统的简化。其次，模型中必须包含系统中某个方面的主要因素，模型不可能与实际系统完全对应， 而只应当包含那些决定系统本质同性的重要因素。第三，为了进行定量分析，模型中必须反映出各主要因素之间的逻辑关系和数学关系， 使模型对系统具有代表性。(2) 特征：目的性、应用性、

4、功能性、抽象性是一般模型所普遍具有的特征。“特定对象”表明了模型的应用性，即它是为解决某个实际问题而提出的。“特定目的表明了它的功能性，即当研究一个特定对象时，不是笼统地研究，而是为实 现特别的功能而研究；不是研究它的一切特点，而是只研究当时所关心的那些特征，研究可 以局限于所要达到的特定目的，如分析、决策、控制、预测等。“经过简化、提炼而构造”表明了模型的抽象性。所谓抽象，就是从事物的现象中将那些 最本质的东西提炼出来，为了提炼本质的东西，当然要作一些必要的假设，并对非本质的东 西进行简化。这里本质与非本质也不是绝对的，是相对于一定的对象和目的而言，而简化必 须是合理的合乎事物内在规律的。抽

5、象性的另一个含义是它的普适性，即不管事物表现形式 如何不同，如果其本质的内在规律一样，都可以用相同的模型来描述。这里特别强调模型的目的性，模型的基本特征是由模型的目的决定的。一个原型，为了 不同的目的可以有多种不同的模型.例如，为了制定大型企业的生产管理计划，模型就不必 反映各生产装置的动态特性，但必须反映产品的产量、销售量和库存原料丝等变化情况.也 就是说，各装置的动态特性对这种模型来说是非本质的.相反，为了实现各生产装置的最佳 运行，模型就必须详细地描述各装置内部状态变化的生产过程动态特性.这时，各装置的动 态待性就变成了本质的.可见，模型所反映的内容将因其使用的目的的不同而不同。（3）分

6、类：模型一般分为具体模型（物质模型）和抽象模型（理想模型）两大类.具体 模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等.1.3系统与模型的关系系统的观点能让人们更好地认识和把握事物.人们所关心和研究的事物或系统总是存在 着矛盾，矛盾就是问题，研究事物或系统就是去解决问题.事物或系统总是处于运动变化的 过程之中，如何把握它们在运动变化过程中的规律性，是研究事物或系统的根本问题。综上所述，真实系统可视为产生一定性状数据的信息源，而模型则是产生与真实系统相 同性状数据的一些规则、指令的组合。抽象在其中则起着媒介作用，系统建模实际上是将真 实系统抽象为“黑箱，再根据黑箱外部的输入

7、、输出而提出关于黑箱内部的情况假定（一些规 则、指令的集合）模型。如果用数学方式表达模型，最终产生的就是数学模型。上述这种 通过抽象认识事物的方法称为模型论，又叫黑箱理论。黑箱理论，是实验辨识建模的重要基 础。2. 数学模型2.1数学模型（1）定义 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个 特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的 一个数学结构。（2）特征 数学模型除具有一般模型所普遍具有的四个特征外，定义中的“运用适当的 数学工具,，得到“数学结构,，表明数学模型还具有数量性特征，这是数学模型区别于其它模型的 最显著特性。“数

8、学工具,，不言而喻是我们已有的数学各分支的理论、方法。“数学结构”可以是数学公 式、算法、表格、图示等。它们体现了数学模型不同于其它各种思维模型，是一种用数学语 言表达的定量化的模型。用数学语言的描述往往比其它模型更概括、更精炼、更为准确，也 更能抓住事物的本质。重要的是建立了数学模型以后，对对象的研究可以完全转化在数学演 绎的范畴进行。（3）分类 数学模型可以分为原始系统数学模型（数学模型）和仿真系统数学模型（仿 真模型）两大类。原始系统数学模型是对系统的原始数学描述。 原始系统数学模型按照不同的分类标准有着多种分类（略，见数学模型的类型）仿真系统数学模型是一种适合在计算机上演算的模型，主要

9、是指根据计算机的运算特点、 仿真方式、计算方式、精度要求将原始系统模型转换为计算机程序。仿真系统数学模型的特 点在于面向问题和面向过程的建模过程，并且适合于在仿真环境下，通过模仿系统的行为来 求解问题。仿真系统数学模型基本上可分为离散系统仿真模型、连续系统仿真模型、混合型 仿真模型三类，它们主要取决于所研究系统的性质。2.2数学模型与大科学为了分析/研究（科学）、设计/发明（技术）和实现/建造（工程）一个系统，需要对系统 进行广泛的研究（大科学），以抽取系统的基本性能测度和基本运动规律。研究系统的方法有 如下三种：理论分析，科学实验，科学计算。理论、实验、计算一起已成为当今世界科学活动的主要方

10、式。许多重大的科学技术问题 无法求得理论解，也难以应用实验手段，但却可以进行计算。计算大大增强了人们从事科学 研究的能力，加速了把科技转化为生产力的进程，深刻地改变着人类认识世界和改造世界的 方法和途径。在科学和工程的许多领域，计算可被用来获得重大的研究成果或完成高度复杂 的工程设计。科学计算为科学研究与技术创新提供了新的重要手段和理论基础，正在并将继 续推动当代科学和高新技术的发展。对系统进行研究就是为系统建立模型。对应于前面的三种研究方法，建立模型也有三种 方法：机理分析法、数据分析法、模拟仿真法。机理分析法是根据对客观事物特性的认识从 基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。数据分析

11、法是直接在真实系统上进行实验 研究，然后对实验数据进行建模；模拟仿真法是先构造系统的仿真模型，通过对仿真模型的 试验来代替或部分代替对真实系统的试验，然后对实验数据进行建模。2.3好数学模型具备的特点1. 对所给问题有较全面的考虑1）列举各种因素.2）选主因素计入模型.3）考虑其它因素的影响，对模型进行修正。2. 创造性地改造已有模型或自创新的模型模型的优劣往往看其创造性，即是否能结合实际提出自己的独到见解，创造性的思路往 往是解决问题的关键所在。当然，在数模竞赛的短短三天之内，恐怕没有足够的时间去自创 一种新的数学方法解决问题，所以往往是在现有模型上做出创造性的改进。3. 善于在简单与复杂、

12、精确与普适等相反特征之间取得调和数学模型应当是对实际问题的本质刻画.如果考虑问题过于简单模型固然明白易懂，但 却没有抓住问题的本质.相反，如果将所有因素不分主次一概计入模型，不仅显得十分庞杂, 而且事实上无法求解，反而掩盖了问题的本质.4注重结果分析，考虑其在实际中的合理性数学建模是一个从实际到数学，再从数学到实际的过程。模型得到的结果是否符合实际, 是判断模型好坏的重要标志。一个好的模型所预见的结果不应该由于原始数据或参数的微小波动而有很大约变化，因 此模型的误差、敏感性与稳定性分析是至关重要的。3数学建模数学建模就是通过对系统的深入反复的研究，确定系统的数学模型的形式、结构和参数, 以得到

13、正确描述系统表征和性状的最简数学表达式的过程，即数学的应用过程。它是一个螺 旋上升的复杂的演进过程，需要建模者进行多次的反复才能完成。发展方向建立多模式映射的建模环境和模型与复杂信息环境之间的接口，使之能够 接纳现实世界提供的信息，高逼真度地进行复杂大系统仿真研究。3.1数学建模一般过程数学建模的全过程表述现实世界数学世界根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题解释求解选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象验证用现实对象的信息检验得到的解答实践口理论口 实践一、现实问题的提出一一问题重述、初步分析要建立现实问题的数学模型，第一步是对要解决的问题有一个

14、十分清晰的提法。通常， 我们遇到的某个实际问题，在开始阶段问题是比较模糊的，又往往与一些相关的问题交织在 一起。所以，需要查阅有关文献，与熟悉具体情况的人们讨论，并深入现场调查研究。只有 掌握有关的数据资料，明确问题的背景，确切的了解建立数学模型究竟主要应达到什么目的, 才能形成一个比较清晰的“问题二(1) 需求分析：识别现实问题，阐述问题的本质；不同性质的问题需要采用不同的方 法加以解决，建立什么样的模型是由问题的本质决定的。(2) 系统分析：剖析现实问题，提炼可能的因素；可能的因素包括现实问题所涉及的 常量和变量、约束和假设等等。(3) 问题表述：用自己的语言将问题的本质及其所涉及到的各种

15、影响因素详细清晰的表 述出来，形成一个比较清晰的“问题”。(4) 检查问题的本质是否真正把握，影响因素是否全面，各个影响因素是否矛盾、独立, 问题的背景是否真正了解。这部分内容可用来写论文的“问题重述部分。二、数学模型的建立1. 用数学表述问题(1) 罗列并区分问题中涉及到的变量和参量，包括适当的单位(2) 罗列并区分问题中涉及到的约束和假设，包括等式和不等式(3) 用准确的数学表达式给出问题的目标，要保证目标的合理性和简单性。(4) 检查表述是否准确、量纲、自相容性、是否有丢失现象等等2. 分析模型的框架(1) 确定问题领域、模型类型，查找可能的求解方法(数学工具)。(2) 推敲假设及约束的

16、合理性、自洽性、独立性，并适当的添加和删除。进行合理的假设：进行假设的目的之一：选出主要因素，忽略非本质因素，即使问题简 化以便进行数学描述，又抓住了问题的本质.在合理与简化之间做出恰当的折衷。进行假设 的目的之二：“对所研究对象进行近似，使之满足建模所用数学方法必需的前提条件匕建立 数学模型就是采用或建立某种数学方法来解决具体的问题，而每种理论的应用都必须满足一 定的理想化条件，因此能否应用某种数学方法的关键在于所研究对象是否近似满足理想化条 件.必须着重指出的是，对于一个假设，最重要的是它是否符合实际情况而不是为了解决问 题的方便。(3) 根据问题特点将其划分为几个低耦合的模块，并找出关键模块，即建立模型的框架