精选优质文档-----倾情为你奉上分形维数算法分形包括规则分形和无规则分形两种规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等这些分形图形具有严格的自相似性无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到分形维数D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。
1）尺码法用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系N～λ-D （2-21）上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间海岸线绝对长度L被表示为：L=Nλ～λ1-D （2-22）他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3这说明挪威的海岸线更曲折一些[27]2）小岛法如果粗糙曲线都是封闭的，例如海洋中的许多小岛，就可以利用周长-面积关系求分维，因此这个方法又被称为小岛法对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比，而面积A则与λ的二次方成正比通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系：P∝A1/2 (2-23)对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些，Mandelbrot提出，应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长，从而给出了下述关系式： （2-24）这里的分维D大于1（周长光滑时D=1，上式转化成为（2.23）式），使P的变化减缓，a0是和岛的形状有关的常数，是测量尺寸，一般取为小于1的数值（如取岛的最大直径为1），使因子（1-D）/D随测量尺寸减小而增大。
作log[P()/]～log[A()1/2/]图，从其中直线部分的斜率的倒数，可以得到分维D这个方法也可以推广到粗糙曲线（表面积-体积法）3）计盒维数法[28]这是一种常用的计算分形图形分维数的实用方法取边长为r的小盒子，把分形曲线覆盖起来则有些小盒子是空的，有些小盒子覆盖了曲线的一部分计数多少小盒子不是空的，所得的非空盒子数记为N（r）然后缩小盒子的尺寸，所得N（r）自然要增大，当r→0时，得到分形维数： （2-25）实际计算中只能取有限的r，通常的做法与尺码法类似，求一系列r和N（r），然后在双对数坐标中用最小二乘法拟合直线，所得直线的斜率即所求分形维数４）结构函数法[29]具有分形特征的时间序列能使其采样数据的结构函数满足： （2-26）式中：表示差方的算术平均值是数据间隔的任意选择值针对若干尺度对分形曲线的离散信号计算出相应的Ｓ（），然后在对数坐标中得logS()～log直线的斜率Ｗ，则分形维数： （2-27）2.2.4系统所采用的二种计算维数的方法以上介绍的各种测量不规则分形的分维方法，在原理上都是利用了它们的自相似性和被测量是随测量尺度的改变而改变的特性。
因此选择哪一种方法来测定和计算分维只能从实际问题出发，没有统一的标准但在计算分维时存在的共同点是在计算原则上要求图形象素尽量多以及相似的层次尽量多但实际图形往往达不到这样的要求，计算机模拟结果原则上可以有大得多的线性范围，但限于计算时，一般双对数图上的线性范围是2～3个量级因此我们在实际的研究工作中，对研究对象使用分形或分维等概念时一定要注意它的适用范围下面介绍在系统中所使用的二种求分形的方法a、 半方差法半方差法用于复杂的分形曲线的计算，适用于对随机过程数据的处理该方法简单易行，适合于计算机处理，是一种较实用的计算方法设在某一测量距离或测量时间序列上得到一族z（t），且随机变量的平均差表示为： （2-28）其中：m(a)为平均差；z(t)为在t位置函数曲线的测量值；z(t+Δt)为在t+Δt位置函数曲线的测量值；Δt为一对数据的间据n为数据对数方差表示为： （2-29）半方差表示为： （2-30）式中数据的对数n的确定方法是：若以等间距Δt连续测量某一距离的各点数值时，得到一随机数据z(1),z(2),…,z(k),如图2-6所示当一对数据的间距t1=Δt时，数据的对数n=k-1,如图2-6 (a)所示。
当一对数据的间距t2=2Δt时，计算相应的半方差时，数据的对数n2=k-2,如图2-6 (b)所示t1=Δtn1=k-1 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (a)t2=2Δtn2=k-2 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (b)t3=3Δtn3=k-3 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (c)当一对数据的间距t3=3Δt时，计算相应的半方差时，数据的对数n2=k-3,如图2-6 (c)所示图2-6 半方差法中参数n的确定Fig 2-6 the definition of n in semi-variance method当试验数据较多时，往下依次类推。
每当改变一对数据的间距时，由式（2-30）可以得到相应的半方差r(a)对于分形曲线，a与r(a)存在如下的幂型关系：r(a)∝hW (2-31)其中，W是幂指数，是分形维数D的一种逼近，把h和r(h)绘到双对数坐标图上，并进行线性回归，得到回归方程，其斜率即为W而斜率W与分形维数D有如下关系[23]：W=4-2D （2-32）则 （2-33）b、 变换法这是Dubuc等[29]介绍的方法，在本质上它与计盒维数法相似，但对已知分形曲线运用此法得到的结果比计盒维数法准确，后来Spanos和Irene[25]把此方法推广应用于粗糙曲面，也得到很好的结果此法设置宽为Ｒ的矩形（盒子）覆盖到分形曲线上，矩形的高度由分形曲线在框内的最高点和最低点决定（图2-7），一步一步移动矩形遍及所有象素点，将所有矩形的高和宽相乘并且相加起来得到总面积S（R），系列改变Ｒ的大小重复以上操作，得到一系列S（R）注意上述操作过程中矩形经过的范围应远远大于矩形的宽度将R2R1图2-7 变换法求分维Fig 2-7 dimension calculating using variationS（R）除以R２得到N（R）＝S（R）／R２，作lnN(R)～ln(1/R)曲线，取其中线性部分的斜率为分维Ｄ，因为性范围内存在N（R）～R－Ｄ的关系。
或者直接作lnS(R)～lnR曲线，其中线性部分斜率为W，并且由此斜率得到分维DD＝２－W （2-34）变换法也可以推广到粗糙曲面的分维计算此时测量用的矩形被正方柱代替变换法和计盒维数法在本质上是相同的，它们都是用不断改变尺寸的盒子去覆盖图形其较为准确的原因在于它允许二维或三维的盒子数N（R）为非整数，同时N（R）也是遍及所有象素点得到的数值专心---专注---专业。