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1、WORD 1 / 5 高等数学 A(下册)期末考试试题 A 卷 院（系）别班级学号成绩大题一二三四五六七小题1 2 3 4 5 得分一、填空题：（本题共 5 小题，每小题4 分，满分20 分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足0ab，2a，2b，则a b2、设ln()zxxy，则32zx y3、曲面229xyz在点(1,2, 4)处的切平面方程为4、设( )f x是周期为2的周期函数，它在,)上的表达式为( )f xx，则( )f x的傅里叶级数在3x处收敛于，在x处收敛于5、设L为连接(1, 0)与(0,1)两点的直线段，则()Lxy ds以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出
2、详细的解答过程，并在每答题纸写上：、学号、班级二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题7 分，满分35 分）1、求曲线2222222393xyzzxy在点0M(1, 1,2)处的切线与法平面方程2、求由曲面2222zxy与226zxy所围成的立体体积3、判定级数11( 1) lnnnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设(,)sinxzf xyyy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxx y5、计算曲面积分,dSz其中是球面2222xyza被平面(0)zhha截出的顶部WORD 2 / 5 三、（本题满分 9 分）抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求这椭圆上的点
3、到原点的距离的最大值与最小值四、（本题满分 10 分）计算曲线积分(sin)(cos)xxLeym dxeymx dy，其中m为常数，L为由点( ,0)A a至原点(0,0)O的上半圆周22(0)xyaxa五、（本题满分 10 分）求幂级数13nnnxn的收敛域与和函数六、（本题满分 10 分）计算曲面积分332223(1)Ix dydzy dzdxzdxdy，其中为曲面221(0)zxyz的上侧七、（本题满分 6 分）设( )fx为连续函数，(0)fa，222( )()tF tzf xyzdv，其中t是由曲面22zxy与222ztxy所围成的闭区域，求30( )limtF tt- 备注： 考
4、试时间为2 小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表与里依序对折上交；不得带走试卷。WORD 3 / 5 高等数学 A(下册 ) 期末考试试题A 卷参考解答与评分标准一、填空题 每小题 4 分，共 20 分 1、4； 2、21y；3、2414xyz； 4 、3，0； 5 、2. 二、试解下列各题 每小题 7 分，共 35 分1、解：方程两边对x求导，得323dydzyzxdxdxdydzyzxdxdx，从而54dyxdxy，74dzxdxz. 4 该曲线在1, 1,2处的切向量为5 71(1,)(8,10,7).4 88T. 5 故所求的切线方程为1128107xyz.6 法平面方程
5、为81101720 xyz即810712xyz. 7 、解：2222226zxyzxy222xy，该立体在xOy面上的投影区域为22:2xyDxy . 2 故所求的体积为Vdv222262200202(63)6dddzd. 7 、解：由11limlimln(1)limln(1)10nnnnnn unnn，知级数1nnu发散 3 又111| ln(1)ln(1)|1nnuunn,1lim |limln(1)0nnnun. 故所给级数收敛且条件收敛 7 、解：121211()0zfyfyffxyy，3 2111122212222211()()zxxfy fxfffxfx yyyyy11122223
6、1.xfxyfffyy 7 、解：的方程为222zaxy，在xOy面上的投影区域为2222(, ) |xyDx yxyah又222221xyzzaaxy， . WORD 4 / 5 故2222222200 xyahDdSadxdydadzaxya2222012ln()2ln2ahaaaah. 7 三、 9 分 解：设( , , )M x y z为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为222dxyz 1 令22222( , , )()(1)L x y zxyzzxyxyz，则由22220220201xyzLxxLyyLzzxyxyz，解得132xy，23z于是得到两个可能极值点121313131
7、3(,23),(,23).2222MM 7 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得故max2min1|95 3,|95 3.dOMdOM 9 四、 10 分 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得22(sin)(cos)8xxDLOAIeym dxeymx dymdma5 而10(sin)(cos)axxOAIeym dxeymx dymdxma 8 221(sin)(cos).8xxLeym dxeymx dyIImama 10 五、 10 分 解：1131limlim31 33nnnnnnanRan，收敛区间为( 3,3) 2
8、 又当3x时，级数成为11nn，发散；当3x时，级数成为11nnn，收敛 4故该幂级数的收敛域为3,3 5 令13nnnxs xn（33x） ，则WORD 5 / 5 11111111( )()33331/33nnnnnxxs xxx, (| 3x) 8 于是000( )( )ln 3ln3ln 33xxxdxs xs x dxxxx，（33x）. 10 六、 10 分 解：取1为220(1)zxy的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有133222222316Ix dydzy dzdxzdxdyxyz dv . 5 2211200062ddzdz . 7 而221133221122313133xyIx dydzy dzdxzdxdyzdxdydxdy. 9 2123.III. 10 七、 6 分 解：2224000sincostF tddrf rr dr. 2 3224400002sincossinttdr drdfrr dr4220228ttr frdr. 4 故32223200022()22222limlimlim().333ttttt f tF tf tatt 6
