一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【 例1 】已 知、是 方 程012xx的 两 个 实 数根 ， 则 代 数 式)2(22的 值为思路点拨所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为( 例【例 2】如果a、b都是质数，且0132maa，0132mbb，那么baab的值为 ( ) A22123 B22125或 2 C22125 D 22123或 2 思路点拨可将两个等式相减， 得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程0132mxx的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x、2x的对称式，这类问题可通过变形用1x+2x、1x2x表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -(1) 恰当组合；(2) 根据根的定义降次；(3) 构造对称式【例 3】 已知关于x的方程：04)2(22mxmx (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根 (2)若这个方程的两个实根1x、2x满足212xx，求 m的值及 相应的1x、2x思路点拨对于 (2) ，先判定1x、2x的符号特征，并从分类讨论入手【例 4】 设1x、2x是方程02324222mmmxx的两个实数根，当m为何值时 ，2221xx有最小值 ?并求出这个最小值思 路点拨利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下 ( 0)进行的注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性【例 5】 已知：四边形ABCD 中， AB CD ，且 AB 、CD的长是关于x的方程047)21(222mmxx的两个根(1) 当 m 2和 m2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -(2) 若 M 、 N分别是 AD、 BC的中点，线段 MN分别交 AC 、 BD于点 P， Q， PQ 1， 且 ABBC) 的长是关于 x的方程的两个根(1) 求 rn 的值；（2）若 E是 AB上的一点， CFDE于 F，求 BE为何值时， CEF的面积是 CED的面积的31，请说明理由精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -16设 m是不小于1的实数，使得关于 x 的方程工033)2(222mmxmx有两个不相等的实数根1x、2x(1) 若62221xx，求 m的值(2) 求22212111xmxxmx的最大值17如图，已知在ABC中， ACB= 90，过 C作 CD AB于 D，且 AD m ，BD=n ，AC2：BC22：1；又关于x 的方程012)1(24122mxnx两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值18设 a、b、 c为三个不同的实数，使得方程和012axx和02cbxx有一个相同的实数根，并且使方程02axx和02bcxx也有一个相同的实数根，试求cba的值参考答案精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -。