精选优质文档-----倾情为你奉上直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念斜率与倾斜角我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；二、基本公式1. 两点间的距离公式2. 的直线斜率公式3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率存在且过，注：①当时，；②当不存在时，（2）斜截式：直线的斜率存在且过，（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线注：可表示经过两点的所有直线（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。
牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”这可通过画正切函数在上的图像来认识例9.1 若三点共线，则___________.分析 由三点共线可联想到斜率相等或向量共线解析 解法一：由题设可知，即，解法二：由题设可知，即，即解法三：由题设可知点在直线上，又由截距式方程得直线方程：，故评注 关于三点共线问题，可以联想到斜率相等或向量共线，亦可先由两点确定一条直线，再证第三点在该直线上，这些方法对学习平面解析（空间立体）几何或几何证明都很有益处变式1 若直线先向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得直线与直线重合，则直线的斜率为__________.变式2 已知过两点的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围是___________.例9.2 已知，点为一动点1）当点段上运动时，求直线倾斜角的范围（2）当点段上运动时，求直线的斜率的范围解析 （1）当点段上运动时，求直线斜率为，可得倾斜角的范围为2）当点段上运动时，倾斜角范围为，可得斜率为直线的斜率的范围评注 当斜率有正负时，倾斜角为两段；当角度包括时，斜率分两段，可用正切函数上的图像求解变式1 若直线的倾斜角分别为，则下列四个命题正确的是（ ）A.若，则两直线的斜率B.若，则两直线的斜率C.若，则两直线的斜率D.若，则两直线的斜率变式2 若直线的斜率的变化范围是，则其倾斜角的变化范围是（ ）A. B. C. D .变式3 直线经过两点（），那么直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D .例9.3 已知直线过，且与以为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围。
分析 本题为“由直线区域求直线斜率范围”求解步骤①做出直线区域图；②求出区域边界斜率；③按逆时针方向旋转得到；④若，直接写出（或开区间），若过无穷，解析 解法一：如图所示，因为过点且与轴垂直的直线与线段相交，但此时直线斜率不存在，直线绕点逆时针旋转到时，斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时斜率的范围是；直线由（不包括）逆时针旋转至时，斜率始终为负值，且逐渐增大，范围是故所求直线的斜率的取值范围是解法二：本题也可以用线性规划的知识来解决，当轴时，与线段相交，此时斜率不存在当斜率存在时，设直线的方程为，即，要使与线段有交点，只需落在直线的两侧或直线上，则应满足，得或，故所求直线的斜率的取值范围是评注 本题主要用了数形结合的方法另外，直线斜率的绝对值越大，直线就越“陡”，这一规律在判断直线的倾斜程度上应用较广变式1 已知线段两端点的坐标分别为，若直线与线段有交点，求实数的范围变式2 已知实数满足，试求的最大值与最小值题型2 直线的方程思路提示要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式例9.4 求下列直线方程：（1）直线：过点，斜率；（2）直线：过点和点；（3）直线：过点，斜率。
分析 已知点的坐标和斜率用点斜式，已知两点的坐标用两点式，已知在轴上的截距和斜率用截距式，最终的结果最好化成直线的一般式解析 （1）由直线的点斜式方程得，整理得的方程为2）解法一：由直线的两点式方程得，整理得的方程为解法二：直线的方程求解也可用点斜式，先算出，再代入点斜式得，即（3）由直线的点斜式方程得，整理得的方程为评注 已知直线上一点的坐标以及直线斜率，或已知直线上两点坐标均可用直线方程的点斜式表示，使用直线方程的点斜式时，应在直线斜率存在的条件下使用，当斜率不存在时，直线方程为变式1 求满足下列条件的直线方程：（1）斜率，在轴上的截距是5；（2）斜率，在轴上的截距是；；（3）在轴, 轴上的截距是2，-5变式2 直线： ，直线过点，且它的倾斜角是的倾斜角的2倍，则的方程为__________.例9.5 已知两直线，都经过点，则经过点的直线方程是____________.解析 解法一：由题设可知所求直线斜率为，且，作差得，则，故所求直线为：，即，即解法二： 由两直线，都经过点,得，两点都适合方程，又过这两点的直线是唯一的故经过点的直线方程是评注 若两点同时满足方程：，即，则过两点的直线方程为：变式1 如图所示，在平面直角坐标系中，设△的顶点为。
点为线段上的一点（异于端点），这里为非零常数设直线分别与边交于点某同学已正确求得直线的方程为，请完成直线的方程：.例9.6 过点，在轴和轴上的截距分别是，且满足的直线方程为__________.分析 过点，在轴和轴上的截距分别是，注意分类讨论为0的情形解析 若，此时直线过原点，设直线方程为且过点，则直线方程为；；若，则设直线方程为又，故，又过点，则，得，故直线方程为，故所求的直线方程为或评注 本题常见的求解错误是忽视截距为零的情况，一般地，条件给出的两个截距（或截距的绝对值）成倍数关系时，若设直线的截距式应注意截距为零，及直线过原点的情形变式1 直线经过点，在在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程变式2 直线经过点，且在轴上的截距是在轴截距的2倍，求直线的方程例9.7 直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程解析 解法一：依题意，设直线的方程为，因为直线经过点，所以，即，由已知，得，解方程组，得或，故所求的直线方程为或或解法二：依题意，设直线的斜率为，则直线的方程为，令，得，令，得直线与两坐标轴围成的三角形面积为，得或故所求的直线方程为或即或变式1 过点分别与轴正半轴交于两点。
1） 当△面积最小时，求直线的方程;（2） 当取最小值时，求直线的方程;（3） 当取最小值时，求直线的方程;例9.7 一条直线被两条直线和截得的线段中点恰好是坐标原点，求直线的方程分析 已知点，故可以考虑使用点斜式方程，通过两次联立方程，分别求出直线与和的两个交点坐标，然后利用中点坐标公式求得的值解析 解法一：当直线斜率存在时，设直线的方程为由得，由得，其交点的中点坐标为.据题意知得.故所求直线方程为.当直线l斜率不存在时，则l：x=0，与l1,l2交点分别为(0,－6)，(0,)，其中点坐标为(0,)，不为原点，不满足题意.解法二：为了确定直线l的方程，需要两个独立的要素，故考虑求出直线上的两个点的坐标，从而可得直线l的方程. 因为两个交点的线段的中点为原点，故设直线l与的交点为，则与直线的交点为，因为在直线上，在直线上，故有，得，所以直线通过点和点O（0，0），易得直线l的方程为.评注 求直线方程最常用的方法是待定系数法，本题所求方程的直线过已知点M（0，0），故设出直线的点斜式，由题中另一条件确定斜率，思路顺理成章.但要注意讨论斜率是否存在，特别是能否把已知条件与相关知识联系变能再得新的解法，如本题中的解法二.确定直线方程基本可以分为两类题型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，此法可称为直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程（含有参数或待定系数），再确定方程（即求出参数值），此时对直线方程来讲可称为间接法. 因为确定一条直线需要两个独立的几何量，要么上个点与斜率，要么两个都是点，所以在求直线方程时，要拿着“方程思想”去积极地从题设中获得未知的几何量所应满足的方程的方程组，然后加以解决即可得解.变式1过点M（0，1）作直线，使它被两条直线所截的线段恰好被点M平分，求此直线的方程.例9.9 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率取值范围为 .解析 过定点,与x轴正半轴的交点为,与y轴正半轴交点为.要交点位于第一象限,即交点在此两点之间,可得k的取值范围为,所以倾斜角的范围为.评注 两直线交点问题一般是一动直线与一定直线,动直线要找出经过的定点,即可解答.变式1 直线与直线的交点位于第一象限,则a的取值范围为 .有效训练题1.下列命题A．过点的直线都可表示为B．过两点的直线都可表示为C．过点（0，b）的所有直线都可表示为D．不过原点的所有直线都可表示为2.过点且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为1的直线的斜率为（ ）A．或 B．或 C． D．或3.已知直线的方程分别为，其图象如图9-3所示，则有（ ）A． B． C． D． 4.设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）A． B． C． D．5.直线在y轴上的截距是，而且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）A． B．C． D．6.直线与连接两点线段相交，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．7.过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .8.已知点两点，直线l过定点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .9.直线，当此直线在x,y轴上截距和最小时，a的值为 .10.设直线l的方程为.（1）若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.11.根据所给条件求直线的方程：（1）直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.（2）直线过点(5,10)，且到原点距离为5.（3）过点A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是.12.已知在矩形ABCD中，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上，求AD边所在的直线的方程.专心---专注---专业。