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1、2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)= . (2)已知函数由方程确定,则= . (3)微分方程满足初始条件的特解是 . (4)已知实二次型经正交变换可化成标准型,则= . (5)设随机变量服从正态分布,且二次方程无实根的概率为,则 . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数的下面 4 条性质: 在点处连续; 在点处的两个偏导数连续; 在点处可微; 在点处的两个偏
2、导数存在 若用“”表示可由性质推出性质,则有 (A) . (B) . (C) . (D) . (2)设,且,则级数 (A) 发散. (B) 绝对收敛. (C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定. exxdx2ln( )yy x0162xxyey(0)y02 yyy0011,2xxyy323121232221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxfxPy216yf aX2( ,)(0)N 042Xyy12),(yxf),(yxf),(00yx),(yxf),(00yx),(yxf),(00yx),(yxf),(00yxPQPQ0(1,2,3,)nunLlim1nnnu11
3、111( 1)()nnnnuu全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 1 页，共 13 页(3)设函数在内有界且可导,则 (A) 当时,必有. (B) 当存在时,必有. (C) 当时,必有. (D) 当存在时,必有. (4)设有三张不同平面的方程,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则 (A) 必为某一随机变量的概率密度. (B) 必为某一随机变量的概率密度. (C) 必为某一随机变量的分布函数. (D) 必为某一随机变量的分布函数. 三、(本题满分 6 分
4、) 设 函 数在的 某 邻 域 内 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 且, 若在时是比高阶的无穷小,试确定的值. ( )yf x(0,)0)(limxfx0)(limxfx)(limxfx0)(limxfx0lim( )0 xf x0lim( )0 xfx0lim( )xfx0lim( )0 xfx123iiiia xa ya zb3 , 2 , 1i1X2X1( )f x2( )fx1( )F x2( )F x1( )f x2( )fx1( )f x2( )fx1( )F x2( )F x1( )F x2( )F x)(xf0 x (0)0,(0)0ff ( )(2 )(0)af hbfh
5、f0hhba,全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 2 页，共 13 页 四、(本题满分 7 分) 已知两曲线与在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限. 五、(本题满分 7 分) 计算二重积分,其中. 六、(本题满分 8 分) 设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面(0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(),终点为().记 (1)证明曲线积分与路径无关; (2)当时,求的值. 七、(本题满分 7 分) (1) 验 证 函 数满 足 微 分 方 程; (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数. 八、(本题满分 7 分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为 ,小山的
6、高度函数为. (1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式. )(xfy xtdteyarctan02(0,0)2(limnnfndxdyeDyx,max2210 , 10| ),(yxyxD)(xf(,) Lyba,dc,22211()() 1,LxIy f xy dxy f xydyyyILcdab I333369( )1()3!6!9!(3 )!nxxy xxn LLxeyyy 30(3 )!nnxnxOy2( , )|Dx yx275yxy),(yxhxyyx2275),(00yxMD),(yxh),(00yxg),(00yx
7、g全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 13 页(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵,均为维列向量,其中线性无关,如果,求线性方程组的通解. 十、(本题满分 8 分) 设为同阶方阵, (1)若相似,证明的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量的概率密度为 对独立地重复观察次,用表示观察值大
8、于的次数,求的数学期望. 十二、(本题满分 7 分) 设总体的概率分布为 0 1 2 3 其中是未知参数,利用总体的如下样本值 求的矩估计值和最大似然估计值. D2275xyxy),(yxg),(4321A4321,4432,32124321Ax,A B,A B,A B,A BX10,cos,( )220,xxf x其他.XY32YXXP2)1 (22211(0)2X3,1,3,0,3,1,2,3,全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 13 页 2002 年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 原式 (2)【分析】 方程两边对两次求导得 以代 入 原 方 程
9、得, 以代 入 得, 再 以代 入 得 (3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程. 令(以为自变量),则 代入方程得 ,即(或,但其不满足初始条件). 分离变量得 积分得 即(对应); 由时得于是 积分得. 又由得所求特解为 2ln11.lnlneedxxx x 6 620,ye yxyyx26 12 20.yye ye yxyy0 x 0y 0 xy0,y 0 xyy(0)2.y ( )yP yy.dydPdPyPdxdxdy20dPyPPdy0dPyPdy0P 012xy0,dPdyPylnln,PyC1CPy0P 10C 0 x 11,2yPy11.2C 1,2,2yPydydxy22y
10、xC01xy21,C 1.yx全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 13 页 (4)【分析】 因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所以是的特征值. 又因,故 (5)【分析】 设事件表示“二次方程无实根” ,则 依题意,有 而 即 二、选择题 (1)【分析】 这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A). (2)【分析】 由充分大时即时,且不妨认为因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性. 按定义考察部分和 原级数收敛. Tx AxA6,0,
11、0Aiiia600,2.aaaaA042Xyy1640AXX4.1( )4.2P AP X44141(),P XP X 4141 41(),(),0.4.22( , )f x y( , )f x y( , )f x y1lim101nnunn ,N nN10nu1lim0,nnu,0,nn u1nu111111111111( 1)()( 1)( 1)nnnkkknkkkkkkkSuuuu1111111( 1)11( 1)1( 1)(),knnnlklklnnuuuuu 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 6 页，共 13 页再考察取绝对值后的级数.注意 发散发散.因此选(C). (3)
12、【分析】 证明(B)对:反证法.假设,则由拉格朗日中值定理, (当时,因为);但这与矛盾 (4)【分析】 因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B). (A)表示方程组有唯一解,其充要条件是 (C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和 ,且中任两个平行向量都线性无关. 类似地,(D)中有两个平面平行,故,且中有两个平行向量共线. (5)【分析】 首先可以否定选项(A)与(C),因 对于选项(B),若则对任何 ,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D). 进一步分析可知,若令,而则的分布函数恰是1111()nnnuu111
13、112,11nnnnuunnnuunn11nn1111()nnnuulim( )0 xfxa(2 )( )( )()fxf xfxx x 2xx(2 )( )(2 )( )2fxf xfxf xM( ).f xM( )( )23r Ar A( )( )3.r Ar A( )2r A ( )3r A A( )2r A ( )3r A A121212( )( )( )( )21,()()1 121.f xfx dxf x dxfx dxFF 121, 21,1,01,( )( )0,0,xxf xfx 其他，其他，(,),x 12( )( )0f x fx 12( )( )01,f x fx dx
14、12max(,)XXX( ),1,2,iiXf x i X( )F x全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 7 页，共 13 页 三、 【解】 用洛必达法则.由题设条件知 由于,故必有 又由洛必达法则 及,则有. 综上,得 四、 【解】 由已知条件得 故所求切线方程为.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得 五、 【分析与求解】 是正方形区域如图.因在上被积函数分块表示 于是要用分块积分法,用将分成两块: 12( )( ).F x F x1212( )max(,),F xPXXxP Xx Xx1212 ( )( ).P Xx P XxF x F x0lim( )(2 )(0)(1) (
15、0).haf hbfhfabf(0)0f 10.ab 00( )(2 )(0)( )2(2 )limlim1hhaf hbfhfafhbfhh(2 )(0)0,ab f(0)0f 20ab2,1.ab (0)0,f22arctanarctan0020(0)()1,1xxtxxxefedtxyx02( )(0)2( )(0)lim( )2lim2lim2(0)2.2nnxfff xfnnffnxnDD2222,max,( , ),xxyxyx yDyxyyxD1212,.DDD DDyxDDyxUIII222212max,max,xyxyDDedxdyedxdy全国硕士研究生入学统一考试数学（一
16、）真题第 8 页，共 13 页(关于对称) (选择积分顺序) 六、 【分析与求解】 (1)易知原函数, 在上原函数,即. 积分在与路径无关. (2)因找到了原函数,立即可得 七、 【证明】 与书上解答略有不同,参见数三 2002 第七题(1)因为幂级数 的收敛域是,因而可在上逐项求导数,得 , , 所以 . (2)与相应的齐次微分方程为, 2221212xyxDDDe dxdye dxdye dxdyDyx21002xxdxe dy22110021.xxxe dxeePdxQdy2211()()()()()xPdxQdydxyf xy dxxf xy dydyydxxdyf xyydxxdyyyy0( )() ()( ).xyxxdf xy d xydf t dtyy0y PdxQdy0( , )( )xyxu x yf t dtyI0y ( , )( , )( , ).c da bcaIu x ydb3693( )13!6!9!(3 )!nxxxxy xn LL()x ()x 25831( )2!5!8!(31)!nxxxxy xnLL4732( )4!7!(32)!nxxxyxxn
