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1、yOx2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)设(为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_. (2)设,则 div(gradr)=_. (3)交换二次积分的积分次序:_. (4)设矩阵满足,其中为单位矩阵,则=_. (5)设随机变量的方差是,则根据切比雪夫不等式有估计 _. 二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.) (1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示, 则的图形为 (2)设在点附近有定义,且,则 (A) . (
2、B) 曲面在处的法向量为3,1,1. 12(sincos )xye CxCx12,C C222zyxr)2, 2, 1( 0112),(ydxyxfdyA240AAEE1()AEX22)(XEXP)(xf)(xfy )(xfy),(yxf(0,0)1)0 , 0(, 3)0 , 0(yxff(0,0)|3zddxdy),(yxfz (0,0,(0,0)f全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 1 页，共 13 页(C) 曲线在处的切向量为1,0,3. (D) 曲线在处的切向量为3,0,1. (3)设,则在=0 处可导的充要条件为 (A) 存在. (B) 存在. (C) 存在. (D) 存在
3、. (4)设则与 (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似. (5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于 (A)-1. (B) 0. (C) . (D) 1. 三、(本题满分 6 分) 求. 四、(本题满分 6 分) 设函数在点处可微,且, .求. 五、(本题满分 8 分) 0),(yyxfz(0,0,(0,0)f0),(yyxfz(0,0,(0,0)f0)0(f)(xfx201lim(1 cosh)hfh01lim(1)hhfeh201lim(sinh)hf hh01l
4、im (2 )( )hfhf hh1 1 1 140001 1 1 10000,1 1 1 100001 1 1 10000ABAB12dxeexx2arctan),(yxfz (1,1)(1,1)1f(1,1)|2fx(1,1)|3fy( )( ,xf x( , )f x x13)(xxdxd全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 2 页，共 13 页设=将展开成的幂级数,并求级数的和. 六、(本题满分 7 分) 计算,其中是平面与柱面的交线,从轴正向看去,为逆时针方向. 七、(本题满分 7 分) 设在内具有二阶连续导数且,试证: (1)对于内的任一,存在惟一的,使=+成立; (2).
5、八、(本题满分 8 分) 设有一高度为( 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分 6 分) 设为线性方程组的一个基础解系, ,其中为实常数.试问满足什么条件时,也为的一个基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵与三维向量,使得向量组线性无关,且满足. (1)记=（）,求 3 阶矩阵,使; (2)计算行列式. 十一、(本题满分 7 分) )(xf210,arctan ,0,1,xxxxx)(xfx1241) 1(nnndzy
6、xdyxzdxzyIL)3()2()(222222L2zyx1 yxZL)(xf( 1,1)0)( xf( 1,1)0 x ) 1 , 0()(x)(xf)0(f)(xxf x01lim ( )2xx( )h tt)()(2)(22thyxthzs,210Ax 11122tt21223,tt121sstt21,tt21,tts,210Ax Ax2,x Ax A xxAAxxA2323PxAAxx2,B1 PBPAEA全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 13 页设某班车起点站上客人数服从参数为()的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(),且中途下车与否相互独立.以表示在中途
7、下车的人数,求: (1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率; (2)二维随机变量的概率分布. 十二、(本题满分 7 分) 设 总 体服 从 正 态 分 布(), 从 该 总 体 中 抽 取 简 单 随 机 样 本,(),其样本均值为,求统计量的数学期望. X0p01pYnm(, )X YX2( ,)N 012,XX2nX2n niiXnX2121niiniXXXY12)2( )E Y全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 13 页2001 年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是,从而得知特征方程为 . 由此,所求微分
8、方程为. (2)【分析】 先求 gradgradr. gradgradr=. 再求 divgradgradr= =. 于是 divgradgradr|=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为时 .由此看出二次积分是二重积分的一个累次 积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为 . 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域: . 见图.现可交换积分次序 原式=. (4)【分析】 矩阵的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法. 12,1r ri 2212121 2()()()220rrrrrrr rrrrr220yyy,rrrx y zx
9、yzr r r( )( )( )xyzx ry rz r222222333311132()()()xyzxyzrrrrrrrrr(1, 2,2)(1, 2,2)22|3r10y 12y0211( , )ydyf x y dx0211( , )( , )yDdyf x y dxf x y dxdyD10,12yyx 022021111110( , )( , )( , )xyxdyf x y dxdxf x y dydxf x y dy A全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 13 页 因为 , 故 ,即 . 按定义知 . (5)【分析】 根据切比雪夫不等式 , 于是 . 二、选
10、择题 (1)【分析】 当时,单调增,(A),(C)不对; 当时,:增减增:正负正,(B)不对,(D)对. 应选(D). (2)【分析】 我们逐一分析. 关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由在(0,0)存在两个偏导数在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立. 关于(B B)只能假设在(0,0)存在偏导数,不保证曲面在 存在切平面.若存在时,法向量 n=3,1,-1与与3,1,1不共线,因而(B)不成立. 关于(C),该曲线的参数方程为 它在点处的切向量为 . 因此,(C)成立. (3)【分析】 当时,. 2()(2 )240AEAEEAAE()(2 )2AEAEE2()2AEAEE11()(2
11、 )2AEAE2( )()D xP XE X2( )1()222D xP XE X0 x ( )f x( )0fx0 x ( )f x( )fx( , )f x y( , )f x y( , )f x y(0,0)(0,0),ffxy( , )zf x y(0,0,(0,0)f(0,0)(0,0)1ffxy ，,0,( ,0),xtyzf t(0,0,(0,0)f0 ,0,( ,0)|1,0,(0,0)1,0,3txdtf tfdt(0)0f0( )(0)limxf xfx00( )( )limlimxxf xf xxx 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 6 页，共 13 页关于(A
12、):, 由此可知 . 若在可导(A)成立,反之若(A)成立 .如满足(A),但不. 关于(D):若在可导, . (D)成立.反之(D)成立在连续,在可导.如 满足(D),但在处不连续,因而也不. 再看(C): (当它们都时). 注意,易求得.因而,若(C)成立.反之若(C)成立(即 ).因为只要有界,任有(C)成立,如满足(C),但不. 因此,只能选(B). (4)【分析】 由 ,知矩阵的特征值是 4,0,0,0.又因是实对称矩阵,必能相似对角化,所以与对角矩阵相似. 作为实对称矩阵,当时,知与有相同的特征值,从而二次型与有相同的正负惯性指数,因此与合同. 所以本题应当选(A). 注意,实对称
13、矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如 与, 它们的特征值不同,故与不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以与合同. 220001(1 cos ) 1 cos1( )lim(1 cos )lim1 coslim1 cos2hhtfhhf tfhthhhht 201lim(1 cos )hfhh(0)f( )f x0 x (0)f(0)f( ) |f xx(0)f( )f x0 x 001(2 )( )lim (2 )( )lim22(0)(0)2hhfhf hfhf hffhhh0lim( (2 )( )0hfhf h( )f x0 x ( )f x0 x 21
14、,0( )0,0 xxf xx( )f x0 x (0)f2220001sin(sin )sin( )lim(sin )limlimsinhhhhhf hhhhf tf hhhhhhht20sinlim0hhhh(0)f0( )limtf tt(0)f( )f tt( ) |f xx(0)f43|40EAAAAABABABTx AxTx BxAB1 00 2A1 00 3BABAB全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 7 页，共 13 页(5)【分析】 解本题的关键是明确和的关系:,即,在此基础上利用性质:相关系数的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量与之间存在线性关系,即(其中是常数)
15、,且当时,;当时,由此便知,应选(A). 事实上,由此由相关系数的定义式有 . 三、 【解】 原式= = =. 四、 【解】 先求. 求 ,归结为求.由复合函数求导法 , . 注意 ,. 因此 ,. 五、 【分析与求解】 关键是将展成幂级数,然后约去因子,再乘上并化简即可. 直接将展开办不到,但易展开,即 XYXYnYnXXYXYYaXb, a b0a 1XY0a 1XY 1XY (, )(,)Cov X YCov X nXDX ()DYD nXDX(, )1XYCov X YDXDXDYDXDY 222211arctan()arctan22(1)xxxxxxxdee d eeeee 2221
16、(arctan)21xxxxxxdedeeeee21(arctanarctan)2xxxxeeeeC(1)(1,(1,1)(1,1)1fff321( )|3(1)(1)3(1)xdxdx(1)12( )( ,( , )( ,( , )( , )dxfx f x xfx f x xf x xdx1212(1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)ffff1(1,1)(1,1)2ffx2(1,1)(1,1)3ffy(1)23(23)1731( )|3 1751xdxdx arctan xx21xarctan x(arctan )x全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 8 页，共 13 页 , 积分得 ,. 因为右端积分在时均收敛,又在连续,所以展开式在收敛区间端点成立. 现将式两边同乘以得 = = , , 上式右端当时取值为 1,于是 . 上式中令. 六、 【解】 用斯托克斯公式来计算.记为平面上所 为围部分.由的定向,按右手法则取上侧,的单位法向量 . 于是由斯托克斯公式得 2201(arctan )( 1), | 11nnnxxxx2210000( 1)arctan(arcta
