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1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载排列组合学问点与方法归纳一.学问要点1. 分类计数原理与分步运算原理（1） 分类运算原理（加法原理）：完成一件事,有 n 类方法,在第一类方法中有 m1 种不同的方法,在其次类方法中有 m2 种不同的方法, ,在第 n 类方法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2+ + mn 种不同的方法；（2） 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1 步有 m1 种不同的方法,做第2 步有m2 种不同的方法,做第n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1 m2 m n 种不同的方法；2.
2、排列（1） 定义从 n 个不同元素中取出m（）个元素的全部排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数,记为.（2） 排列数的公式与性质a 排列数的公式： =n （ n-1 ）（ n-2 ） （ n-m+1） =特例：当 m=n时,=n ！=n（ n-1 ）（ n-2 ） 321规定： 0！=1b 排列数的性质：（）=（）（）3. 组合（ 1）定义精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载a) 从 n 个不同元素中取出个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合b) 从 n 个不同元素中取出个元素的全部组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取
3、出m个元素的组合数,用符号表示；（ 2）组合数的公式与性质a) 组合数公式：（乘积表示）（阶乘表示）特例：b) 组合数的主要性质：（）（）4. 排列组合的区分与联系（ 1） 排列与组合的区分在于组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有关,而且仍与取出元素的次序有关；因此,所给问题为否与取出元素的次序有关,为判定这一问题为排列问题仍为组合问题的理论依据；（ 2）留意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤,故得排列数与组合数之间的关系：二.经典例题例 1.某人方案使用不超过500 元的资金购买单价分别为60.70 元的单片软件和盒装磁盘,要求软件至少买3
4、 片,磁盘至少买2 盒,就不同的选购方式为（）A .5种B.6种C. 7种D. 8种解：留意到购买3 片软件和2 盒磁盘花去320 元,所以,这里只争论剩下的180 元如何使用,可从购买软件的情形入手分类争论：第一类,再买3 片软件,不买磁盘,只有1种方法；其次类,再买2 片软件,不买磁盘,只有1 种方法；第三类,再买1 片软件,再买1 盒磁盘或不买磁盘,有2 种方法；第四类,不买软件,再买 2 盒磁盘. 1 盒磁盘或不买磁盘,有3 种方法；于为由分类计数原理可知,共有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载N=1+1+2+3=7种不同购买方法,应选C；例 2.在中有 4
5、 个编号为1, 2,3, 4 的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红.蓝.黄.白.黑五种颜色中的一种,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂法？解：依据题意,有相邻边的小三角形颜色不同,但“对角”的两个小三角形可以为相同颜色,于为考虑以对角的小三角形1.4 同色与不同色为标准分为两类,进而在每一类中分步运算；第一类： 1 与 4 同色,就1 与 4 有 5 种涂法, 2 有 4 种涂法, 3 有 4 种涂法,故此时有 N1=544=80 种不同涂法；其次类： 1 与 4 不同色,就 1 有 5 种涂法, 4 有 4 种涂法, 2 有 3 种涂法, 3 有 3 种涂法,故此时有 N2=
6、5433=180 种不同涂法； 综上可知, 不同的涂法共有 80+180=260 种；例 3.用数字 0,1,2, 3,4,5 组成无重复数字4 位数,其中,必含数字2 和 3,并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个？解：留意到这里“ 0”的特别性,故分两类来争论；第一类：不含“ 0”的符合条件的四位数,第一从1, 4, 5 这三个数字中任选两个作排列有种；进而将 2 和 3 分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置,又有种排法,于为由分步计数原理可知,不含0 且符合条件的四位数共有=36 个；其次类：含有“ 0”的符合条件的四位数,留意到正面考虑头绪较多,故考虑运用“间接法”：第一从1,4
7、,5 这三个数字中任选一个,而后与0,2,3 进行全排列,这样的排列共有个；其中,有如下三种情形不合题意,应当排险：（ 1）0 在首位的,有个；（ 2）0 在百位或十位,但2 与 3 相邻的,有个（ 3）0 在个位的,但2 与 3 相邻的,有个因此,含有0 的符合条件的四位数共有=30 个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载于为可知,符合条件的四位数共有36+30=66 个例 4.某人在打靶时射击8 枪,命中4 枪,如命中的4 枪有且只有3 枪为连续命中的,那么该人射击的8 枪,按“命中”与“不命中”报告结果,不同的结果有（）A.720 种B.480种C.24种D.2
8、0种分析： 第一,对未命中的4 枪进行排列, 它们形成5 个空挡,留意到未命中的4 枪“位置公平”,故只有一种排法,其次,将连中的3 枪视为一个元素,与命中的另一枪从前面5个空格中选2 个排进去, 有种排法, 于为由乘法原理知, 不同的报告结果菜有种；例 5.（ 1）；（ 2）如,就 n=；（ 3）；（ 4）如,就 n 的取值集合为；（ 5）方程的解集为；解：（ 1）留意到n 满意的条件原式 =（ 2 ） 运 用 杨 辉 恒 等 式 , 已 知 等 式所求 n=4；（ 3）依据杨辉恒等式原式 =精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载=（ 4）留意到这里在之下,n 满意的条件n5 且 nN*原不等式由.得原不等式的解集为5 ,6, 7, 11（ 5）由留意到当y=0 时,无意义,原方程组可化为由此解得经检验知为原方程组的解；精品学习资料
