《2022年高考数学解题方法03 八种方法求函数解析式及抽象函数定义域问题(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学解题方法03 八种方法求函数解析式及抽象函数定义域问题(解析版)（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题03 八种方法求函数解析式及抽象函数定义域问题一、八种方法求函数解析式方法一:待定系数法在已知函数解析式的构造时,例如题干中已说明函数为一次函数或二次函数,可用待定系数法求解函数解析式.例1:设是一次函数,且,求.解:是一次函数,设,则 或 或 方法二:配凑法已知复合函数的表达式,求的解析式,的表达式容易配成的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域,而是的值域。例2:已知,求的解析式.解:,.例3:已知,求的解析式.解:,可配凑成 方法三:换元法已知复合函数的表达式时,还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样, 要注意所换元的定义域的变化.例4:已知,求.解:
2、令,则方法四:性质转换法1.函数奇偶性质转换求解析式本类问题的解题思路是“一变”、二写”、“三转化”。“二变”是取相反数使自变量属于所给区间;“二写”是写出新变量的表达式;“三转化”就是利用函数的奇偶性将上述表达式转化为的表达式.例5:已知定义在上的奇函数,当时,求解析式.解:当时,依题有,又因为是定义在上的奇函数,故, 所以当时,所以 2.函数周期性质转换求解析式此类问题的解题思路是“一变”、“写”、三转化”。“一变”是通过自变量减去周期使自变量属于所给区间;“二写”是写出新变量的表达式;“三转化”就是利用函数的周期性将上述表达式转化为的表达式。例6:已知是定义域为周期为2的函数,在区间,
3、试求当时解析式.解:当时,则,故,又的周期为2,变式:已知定义域为的函数满足,在区,试求当时解析式.解:当时,则,故,又,方法五:构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约,特别是函数关系式中出现和或,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式.例7:设满足,求解 显然,将换成,得:联立的方程组,得:例8:设为偶函数, 为奇函数,又,试求和的解析式解为偶函数,为奇函数,又 用替换得: 即联立的方程组,得,方法六:赋值法当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。例9:已知,对于任意实数,等式恒成立
4、,求 的解析式.解: 对于任意实数,等式恒成立,不妨令,则有再令得函数解析式为方法七:回代法求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用回代法。例10:已知函数与的图级关于点对称,求的解析式 解: 设为上任一点,且为关于点的对称点则 , 解得: ,在函数上,整理得方法八:递推法若题中所给条件含有某种递进关系,则可以逆推得出系列关系式, 然后通过叠加、叠乘等运算求得函数解析式.例11:设是定义在上的函数,满足,对任意的自然数,都有,求.解:,不妨令,得: ,又 , 故 分别令令式中的得:.将上述各式相加得:,二、抽象函数定义域求法1.已知的定义域,求复合函数的定义域若的定义域为,求出中的的
5、范围, 即为的定义域.2. 已知复合函数的定义域,求的定义域若的定义域为,则由确定的值域,即为的定义域.3.已知复合函数的定义域,求的定义域可由的定义域(所对应的范围 ) 求得的值域,再由的值域就是 的值域,从而求得中所对应的范围, 即为的定义域.例12:已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )A. B. C. D.【答案】C 【详解】根据复合函数的定义域得到,解得,故选 .例13:已知函数的定义域为0,2求函数的定义域【详解】 因为函数的定义域为0,2,即所以所以 ,解得所以函数的定义域为.例14:已知函数的定义域是,则的定义域是( )A. B. C. D. 【答案】A【详解】因为的定义域
6、是,即,所以.因此函数的定义域为,由得,函数的定义域是.故选达标训练1已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD【答案】B【详解】由题函数的定义域为，在中，所以，在中，所以.故选：B2已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为值域为，则（ ）AB，C，D，【答案】C【详解】因为，且的定义域为，值域为，则的定义域为，值域为，由得，所以的定义域为，值域为，则，所以.故选：C.3设函数是单调递增的一次函数，满足，则（ ）ABCD【答案】D【详解】为单调递增的一次函数，设，故，解得，或，(不合题意，舍去)，因此.故选D.4若函数与的图象关于直线对称，则（ ）ABCD【答案】D【详解】解：设函
7、数图像上的点为，关于直线对称的点为，将点代入函数的解析式可得：，故，故选：D5设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=ex-1，则当x0时，f(x)=（）Ae-x-1Be-x+1C-e-x-1D-e-x+1【答案】D【详解】设x0，f(-x)=e-x-1，因f(x)为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则-f(x)=e-x-1，所以，当x0时，f(x)=-e-x+1故选：D6已知二次函数满足，则（）A1B7C8D16【答案】B【详解】设，因为，所以，化简可得：，所以，所以，所以，所以，所以，故选：B.7定义在上的偶函数和奇函数满足，则在上的最大值为（ ）ABCD【答案】D【详解】因为定义在上的
8、偶函数和奇函数满足，所以，所以，解得.因为，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以在上的最大值为.8定义域为的函数满足，则（ ）ABCD【答案】D【详解】因为定义域为的函数满足，所以有，即，所以，得，故选：D9已知函数f（x1）x2+2x3，则f（x）（）Ax2+4xBx2+4Cx2+4x6Dx24x1【答案】A【详解】，所以.故选：A10已知函数f（x2+1）x4，则函数yf（x）的解析式是（）ABCD【答案】B【详解】，且，所以.故选：B二、填空题11已知是奇函数，当时，则时_【答案】【详解】当时，又因为当 x0 时，所以，因为为奇函数，所以，所以当时，故答案为：.12已知f(x)是一
9、次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(1)_【答案】9【详解】设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7，从而得f(1)9.故答案为：913已知函数对的一切实数都有，则_【答案】/【详解】解：，故答案为：.14已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.【答案】【详解】为使函数有意义，只需，解得，所以函数的定义域为.故答案为：三、解答题15已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的解析式；（2）解不等式.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，则，由奇函数有，且，（2）由题设，又为奇函数，则也为奇函数.当时，此时，.令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，故可得：且，当时，由奇函数图象的对称性，易得的解集为空集.综上，不等式的解集为.16定义在上的奇函数满足：当时，（1）求的解析式；（2）当时，求的最大值和最小值 【答案】（1） ；（2）最大值为17，最小值为1【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以当时，则所以，所以所以（2）令，则，其图像的对称轴为直线，所以当，即时，；当，即时，所以当时，的最大值为17，最小值为1
