第三章投影法和点、直线、平面的投影3.3 直线的投影预备知识：1. 点的三面投影及其投影规律2. 两点间的相对位置关系及重影点aaabbb 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影 直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面投影重合为一点 积聚性，=90直线平行于投影面投影反映线段实 ab=AB=0直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabm 夹角：直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角、 直线平行于投影面，倾角为0 直线垂直于投影面，倾角为90 直线倾斜于投影面，倾角大于 0,小于 90投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线(平行于面)侧平线(平行于面)水平线(平行于面)正垂线(垂直于面)侧垂线(垂直于面)铅垂线(垂直于面)一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面2. 直线对三个投影面的投影特性、投影面平行线只平行某一投影面而同时倾斜另外两个投影面的直线水平线正平线侧平线、正平线 平行于正面，倾斜于水平面和侧面的直线 V面投影反映实长，ab=ABabOX , abOZ 投 影 特 性：正平线实长反映倾角、角的真实大小、水平线 平行于水平面，倾斜于正面和侧面的直线 H面投影反映实长，ab=ABabOX , ab OY 投 影 特 性：反映倾角、角的真实大小水平线实长、侧平线 平行于侧面，倾斜于水平面和正面的直线 W面投影反映实长，ab=ABabOZ , ab OY 投 影 特 性：反映倾角、角的真实大小侧平线实长、小 结 直线在其平行的那个投影面上的投影，反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实际大小。
另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴，且比线段的实长短平行线的投影特性： 分析：利用正平线的投影特性作图例1：已知：点A（30，30，20）， 要求：试作正平线AB，使=30，AB=20mmOYWYHZX 作图： 先做出点A的三投影aaa利用=30过a作与X轴成30的直线利用AB=20mm过a作一半径为20mm的圆，该圆与直线的交点即为b 30bbb四解利用abOX、ab OZ，确定b、b、投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线 ab OX；ab OY 水平投影积聚为一点 b (a)（积聚性）投影特性:、铅垂线垂直于水平面，平行于正面和侧面的直线 ab =ab =AB，即其余两投影反映实长babab(a)、正垂线 ab OX；ab OZ 正面投影积聚为一点(a)b投影特性: ab =ab =AB，即其余两投影反映实长垂直于正面，平行于水平面和侧面的直线ababoXZ(a)bYwYH、侧垂线垂直于侧面，平行于水平面和正面的直线 ab OY；ab OZ 侧面投影积聚为一点a(b)投影特性: ab =ab =AB，即其余两投影反映实长abbaa(b)oYwXZYH、小结 直线在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点（积聚性） 直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长垂直线的投影特性：abbaa(b)oababo(a)b、一般位置直线投影特性：三投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长ab=ABcos，ab=ABcos，a”b”=ABcos；投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。
二、直线与点的相对位置点属于直线（C点）点不属于直线（D点）直线上点的投影特性 从属性：直线上的一点，其投影在直线的同名投影上，且符合点的投影规律 作图问题 判断问题AC:CB=ac:cb= ac : cbABCVHbccbaa定比定理 定比性：点分割线段之比=点的投影分线段的投影之比点C不在直线AB上例2：判断点C是否段AB上abcabccabcab点C在直线AB上从属性注意：对于一般位置直线，只根据任意两对同名投影，就可作出判断例3：判断点K是否段AB上abk因k不在a b上， 故点K不在AB上应用定比定理abkabk另一判断法?注意：对于特殊位置直线，只根据任意两对同名投影，不能直接作出判断空间两直线三、两直线的相对位置共面异面平行两直线相交两直线交叉两直线垂直平行两直线投影特性 平行性：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然abcdcabd注意： 对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投影互相平行，空间两直线就平行AB/CDacddca 对于特殊位置的两直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行AB与CD不平行求出侧面投影如何判断？注意：cdabbbHVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk投影特性 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合点的投影特性。
反之亦然交点是两直线的共有点2. 相交两直线注意： 对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投影符合相交条件，空间两直线就相交 对于特殊位置的两直线，只根据两对同名投影还不一定能直接判断它们是否相交dbaabcdc1(2 )3(4 )交叉两直线123 4情况2 情况1 dcabcdab投影特性 同名投影可能相交，但 “交点”不符合点的投影特性 “交点”是两直线上的一 对重影点的投影,可帮助判断两直线的空间位置例4：试作一直线GH与已知直线AB、CD相交，同时与EF平行（G在AB上，H在CD上）abf deef ccda(b)分析：AB有积聚性1、直接确定g g 2、利用GHEF,过g 作ef的平行线交cd于hh 3、利用H在CD上，有h求hh4、利用GHEF,过h作ef的平行线，交点为gg 垂直两直线的投影通常不能反映其夹角的实形，但在一些特殊条件下，也能反映其真实直角，这种投影特性称为直角投影定理四、直角投影定理（垂直两直线） 直角投影定理的逆定理仍成立设 直角边BC/H面因 BCAB, 同时BCBb故 BCABba平面直线在H面上的投影互相垂直即 abc为直角故 bcab故 bc ABba平面又 BCbcABCabcHacbabc.证明：定理一：空间两直线垂直（相交或交叉），如果其中一条直线是某一投影面的平行线时，则这两直线在该投影面上的投影相互垂直。
定理二：如果两直线的某一投影垂直，其中有一直线是该投影面的平行线，那么该空间的两直线垂直dabcabc d例5：过C点作直线与AB垂直相交投影cd反映CD的真长吗？.例6：过两直线AB、CD之间的最短距离c(d)abbacd分析： 若求两直线之间的最短距离，必须求出两直线的公垂线（假设公垂线EF交CD于E，交AB于F） 水平线与铅垂线垂直，即为其公垂线EFAabc(d)DC(e)fEBFffe(e)距离 直角定理一，作出EF的水平投影 水平线的投影特性找出e小 结直线的投影特性，尤其特殊位置的直线点与直线、两直线的相对位置的判断方法及投影特性定比定理直角定理重点掌握：作业：P7预习：平面的投影。