精选优质文档-----倾情为你奉上2007年华杯赛冬令营讲义——几何2007年2月 深圳华杯赛南京市组委会主教练 华杯赛高级教练员 满涛● 试题的演化例1 河岸l同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为a米、b米 (即图⑴中所示AA＝a米，BB＝b米)，AB＝c米．现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．在图⑵中画出绿化带的位置，并写出画图过程；⑵⑴解：如图（3），作线段AP∥l，使AP＝s，且点P在点A右侧．取点P关于l的对称点P，连BP交l于点D，在l上点D左侧截取DC＝s，则CD即为所求绿化带的位置．如图，设绿化带建于另一位置CD．连BD、PD、AC、PD．则由对称性知，PD＝PD，PD＝PD．由APCD及APCD，知AC＝PD，AC＝PD．但PD＋DB≥PB＝PD＋BD，即PD＋DB≥PD＋DB．就是AC＋BD≤AC＋BD．(当且仅当D段PB与l的交点时等号成立).所以，这样画出的AC＋BD最小．⑷⑶● 面积例2 如图（4），三角形ABC的面积为12，M和N分别是AB和BC边上的两个动点，BM和AN相交于P点，四边形CMPN的面积与三角形APM的面积及三角形BPN的面积都相等时，求三角形APB的面积。
面积系列问题①△ABC内有一点P，如果△PAB、△PAC和△PBC的面积比为7︰7︰1，则确定点P位置的方法是＿＿＿＿②将以上面积比改为1︰2︰3，如何确定P点的位置？③一般情况下，如果面积比改为m︰n︰p，又怎样？本题可从以下这个简单的性质讲起④三角形PAB中，M为AB上任意一点，Q为PM上任意一点则：⑤请用面积法证明三角形三条中线交于一点⑥请证明三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，若AD：DB=AE：EC，连结CD与BE，交点为O，则AO是三角形ABC的一条中线⑦由上题引入(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是 等于1⑧如图，已知三角形ZBP、PBX、PXC的面积分别为3、4、8，求三角形面积.⑨如图，△ABC中，AD、BE相交于点O，BD ：CD＝3 ：2，AE：CE = 2 ：1．那么S⊿BOC ：S⊿AOC ：S⊿AOB 为(A)2 ：3 ：4 (B)2 ：3：5 (C)3 ：4：5 (D)3 ：4 ：6⑩如右图，四边形ABCD中，对角线AC, BD交于O点. 已知AO =1,并且那么OC的长是多少？⑸例3 我国古代“弦图”的变形如图（5）．可以由直角三角形ABC绕点O同向连续旋转三个90而得．因此有“数学风车”的动感．假设中间小正方形的面积为1，整个徽标(含中间小正方形)的面积是92，AD＝2，则徽标的外围周长是 ．例4 ⑹如图（6），AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且∠COA＝60．设扇形AOC、∆COB、弓形BmC的面积分别为S1，S2，S3，则它们之间的大小关系是( )． (A) S1＜S2＜S3 (B) S2＜S1＜S3 (C) S1＜S3＜S2 (D) S3＜S2＜S1ＥGHF例5图（8）是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是正方形四条边的中点，请计算图中红色八边形的面积。
⑻ＥGHF、P（试题的美、整体中研究部分、落脚点很容易）例6在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米，三角形GEC的面积是20平方厘米，三角形GFD的面积是16平方厘米，那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？⑼设AG和GB的长度，列方程分别表示已知的两个三角形面积注意三角形GEC和三角形GFD的面积可表示成矩形的面积与周围的直角三角形的面积差例7 如图（10），在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在ΔABC外作半圆AEC和BFC，当C点在什么位置时图中两个弯月形（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大？⑽● 空间几何※例8 图中有七个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别写有1到6这六个自然数，并且任意相对面上数和是7．把这些正方体一个挨一个地连接起来，使相贴的两个面上数之和为8．则“※”所在面上的数字是 ( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 例9 图⑴是一个正方体形状的纸盒．把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到图⑵的图形．如果把图⑵的纸片重新恢复成图⑴的纸盒，那么与点G重合的点是______________．⑴ A B E F GN M J I HL KC D⑵例10 已知一个长方体，长为3cm，宽为2cm，高为1cm，那么它的表面展开图的周长最小是？解：展开长方体，要剪开七条棱，保留五条棱，为使展开图周长最小，必须剪开尽量短的棱，如图，剪开1cm的棱4条，2cm的棱2条，3cm的棱1条(必须剪开至少1条)，所以，最小周长为(31＋22＋14)2＝22(cm)．例11 如图⑴，一个正方体的三个面上分别写有1、2、3，与它们相对的三个面上依次写有6、5、4．这个正方体的每一条棱处各嵌有一根金属条，每根金属条的质量数(单位：克)等于过该棱的两个面上所写数的平均数． ⑴ 这个正方体各棱上所嵌金属条的质量总和为 克． ⑵ 沿这个正方体的某些棱(连同嵌条)剪开，得到图⑵所示的展开图，其周边棱上金属条质量之和的最小值为 克．在图⑵中把这个正方体的六个面上原有的数字写出来(注：写字的这一面是原正方体的外表面)．⑴⑵填42g，21g．解：⑴每个面上由4条棱围成，计算质量和时，要把各面上的数的一半相加4次．所以，各棱上金属条质量的总和为(1＋2＋3＋4＋5＋6)4＝42(g)．⑵ 要使剪开的棱上金属条质量和最小，就要使未剪开的棱上金属条的质量和最大，所以，未剪开的5条棱应尽可能是大数所在面的公共棱．如图，d面周围有3条棱未剪开，故取d＝6；b、c两面各有2条棱未剪开，经观察，有b＝5，c＝4，a＝1，e＝3，f＝2．所以，未剪开的棱上金属条质量和为21g，从而被剪开的棱上金属条质量之和是21g，即周边棱上金属条的质量和的最小值为21g．例12 如图,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z取3.14)⑾● 计数问题例13 在1010的正方形网格纸上，每个小正方形的边长都为1．如果以该网格中心为圆心，以5为半径画圆，那么在该圆周上的格点共有( )(A) 4个 (B) 8个 (C) 12个 (D) 16个解：以圆心为原点，过圆心的网格线为坐标轴建立坐标系，由32＋42＝52，知点(3，4)，(4，3)共有8个点在圆周上，又(5，0)，(0，5)这4点也在圆周上．除此外没有别的格点在圆周上．故共有12点在圆上．故选(C)．例14 有长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9(单位：cm)的细木棒各1根，利用它们围成的三角形(允许连接加长但不允许折断)，能够得到的不同面积的等边三角形共有 种．解：1＋2＋3＋…＋9＝45，453＝15，即面积最大的等边三角形的边长等于15cm．可作出边长为15，14，13，…，5的等边三角形，共有11种．例15 在55的单位正方形的网格中，共有36个格点，有许多以这些格点为顶点的正方形．这些正方形的面积有多少个不同的值？● 几何极值问题例16 已知锐角三角形的三个内角满足．用表示，及中的最小值，则的最大值为 ．解：．由 ．等号成立条件：，即，，．例17 将长为156 cm的铁丝剪成两段，每段都围成一个边长为整数(cm)的正方形，则这两个正方形面积和的最小值是 cm2．例18 两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”． 现平面上有条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是 15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165之一， 问：（1） W的最大值是多少？（2） 当W取最大值时，问所有的“交角”的和是多少？2007华杯赛冬令营选手平面几何课堂测试试题城市 学校 姓名 班级 得分 本试卷由十个小题构成，解答题需要有解答的过程。
1、观察图⑴中“蝴蝶”的画法，在图⑵的88正方形网格中，画两只与图⑴形状、大小都相同的蝴蝶(二者可以有部分重叠)，组成一幅对称图案，并标出对称轴l或对称中心O．⑴⑵ 2、如图，在△中，、分别是、上的点，联结、、，记为在与的交点，若设，．则、的关系为（ ） 不能确定3、设543cm3长方体的一个平面展开图形的周长为ncm，则n的最小值是 ．4、长为4的线段分成 四小段，以这四小段为边可以作成一个四边形，则其中每一小段满足的条件是 ( )(A) 不大于1 (B) 大于且小于1 (C) 小于2 (D) 大于且小于25、一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图中的阴影部分）和正方体体积的比是 6、以三角形的三个顶点和它内部的（）个点为顶点，作出所有不重叠的小三角形，则这些小三角形的个数为 ．7、在77的单位正方形的网格中，共有36个格点，有许多以这些格点为顶点的正方形．这些正方形的面积有多少个不同的值？8、如图，正方形ABCD面积为144cm2，P为BC边上的任意一点，E为AP的中点，F为PD上的一点，且DF=2FP，则△PEF的面积是_____________ cm2．BCDPEF9、下面有三个判断：(1)存在这样的三角形，它有两条角平分线互相垂直．(2)。