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1、垂径定理、圆周角与圆心角圆1一、知识点1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条 都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。）4、垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的弧。（这里的垂径可以是
2、直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。）5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过 ，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径， 弦且平分弦所对的另一条弧。推论：圆的两条平行弦所夹弧 。6、与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直
3、角.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.7、垂径定理及推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 平行弦夹的弧相等.二、例题图2 (泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则BPC的度数是（ ）图1A B C D 2(泸州市2008年)如图2，PA切O于A，PO交O于B，若PA=6，PB=4，则O
4、的半径是（ ）A B C D3、(南京市2008年)如图3，已知的半径为1，与相切于点，与交于点，垂足为，则的值等于（ ）xyO11BA图3ABCODABCD4、(威海市2008年)如图，O的半径为2，点A的坐标为（2，），直线AB为O的切线，B为切点则B点的坐标为 AB C D 5、(2009年潍坊)已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若，则BD的长为（ ）ABCD 6、（09湖南邵阳）如图，是圆的直径，是圆的切线，为切点，连结交圆于点，连结，若，则下列结论正确的是（ ）A B C D7 如图，在O中，弦BCCBDO ADEFOB
5、AC（1）求证：平分.（2）过点作于点，交于点. 若，求的长18、（2010湖北荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 （1）求证：ACCD=PCBC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； （3）当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。巩固练习一、选择题：1、下列命题中正确的是（ ）A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C、若两段弧的度数相等，则它们是等弧； D、
6、弦的垂线平分弦所对的弧。2、如图，O中弦ABCD于E，AE2，EB6，ED3，则O的半径为 。3、在半径为5cm的O中，有一点P满足OP3 cm，则过P的整数弦有 条。4、已知O的半径为10cm，弦ABCD，AB12 cm，CD16 cm， 则AB和CD的距离是（ ） A、2cm B、14cm C、2cm或14cm D、2cm或12cm5、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，则此弦长为 。AOB 6、如图，如果O的半径为2，弦AB=，那么弦心距的长为（ ）A 7、（2010福建省南平）如图，O的直径AB长为6，弦AC长为2，ACB的平分线交O于点D，求四边形ADB
7、C的面积.ABCOD8、（2009柳州）如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CEAB，垂足为E，BD交CE于点F（1）求证：；（2）若，O的半径为3，求BC的长 9、（2010浙江金华）如图，AB是O的直径，C是的中点，CEAB于 E，BD交CE于点F（1）求证：CFBF；（2）若CD 6， AC 8，则O的半径为 ，CE的长是 ACBDEFO10、（2009年广州市）如图，在O中，ACB=BDC=60，AC=，（1）求BAC的度数； （2）求O的周长 11、D是ABC中BC边上中点，且ADBC延长AD交其外接圆于E。（1）求证AB2ADAE。变式思考（1）：若ABC是等边三角形，D是ABC中BC边上任一点（如图2）结论AB2ADAE还成立吗？若ABC外接圆半径为6，你能求出ADAE的值来吗？变式思考（2）：D若与B，C重合情况又如何？变式思考（3）：若D为BC的延长线上任一点（如图3）。结论AB2ADAE还成立吗？若ABC外接圆半径为6，你能求出ADAE的值来吗？5
