精选优质文档-----倾情为你奉上三角形中的最值（或范围）问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1．在△ABC中， 分别是内角的对边，且2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.(1) 求角A的大小；（2）求的最大值.变式1：已知向量，，且，其中是△ABC的内角，分别是角的对边.(1) 求角的大小；（2）求的最大值.解：由，得a+b—c=ab=2abcosC所以cosC=，从而C=60故=sin(60+A)所以当A=30时，的最大值是变式2．已知半径为R的圆O的内接⊿ABC中，若有2R（sinA—sinC）=（a—b）sinB成立，试求⊿ABC的面积S的最大值解：根据题意得： 2R(—)=(a—b)*化简可得 c=a+b—ab, 由余弦定理可得：C=45, A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135—A)=(sin(2A+45)+1∵0
类型二：利用重要不等式来解决例2（13年重庆中学）在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值解 （1）由余弦定理，∴ ∴，又∵<，解方程组得或 (舍)．∴ （2）由余弦定理，∴ ∵ ∴，又∴即时三角形最大面积为变式3．在⊿ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c, ⊿ABC的外接圆半径R=,且＝（1）求B和b的值； （2）求⊿ABC面积的最大值解：由已知＝，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosB∵A+B+C=π ∴sinA =2sinAcosB∵sinA≠0 ∴cosB= ∴B=60∵R=, ∴b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9＝a+c-2accos 60∴9＋ac= a+c≥2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=acsinB≤*9*sin60=∴三角形得面积的最大值是变式4：⊿ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是 答案：解法1.由a=2,c=1, ∴a=2c∴2sinA=4sinC ∴sinC = sinA≤∵0
1）判断△ABC的性状； (2)若|＋|＝2，求的取值范围．解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，若B＝2C，＜C＜，∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝(∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，＜C＜，∴＜cosB＜1，∴1＜a2＜，又＝accosB＝2－a2，∴∈(，1)．2、在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，∴＝， ∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． 答案：B 3、在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。
解：（I）由知又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定理，得：所以4. 在中，角，，所对应的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值．5. 在中，分别为内角的对边，且（Ⅰ）求的大小；.（Ⅱ）若，试判断的形状. 等腰三角形6．（2012陕西）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ C ）A. B. C. D.7.(2014新标1) 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .【解析】由且 ，即，由及正弦定理得：∴，故，∴，∴，∴，8.（2012安徽文）设的内角所对的边为，且有（Ⅰ）求角的大小；学（II） 若，，为的中点，求的长答案】（Ⅰ）；（II）9.(2014新标2文) 四边形的内角与互补，. （1）求和； （2）求四边形的面积.【答案】（I）， （Ⅱ）10.（2013湖北）在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△的面积，，求的值.【简解】（Ⅰ）由，得，解得 或（舍去）. 因为，所以. （Ⅱ）由得. 又，知. 由余弦定理得故. 又由正弦定理得. 11．(2013江西) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围．【简解】(1)由已知sin Asin B－sin Acos B＝0，sin B－cos B＝0，tan B＝， B＝.(2) b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝(a＋c)2＝，等号可以成立∴b≥. 又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1.12.（2013四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－. (1)求cos A的值； (2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．【简解】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.(2)由cos A＝－，0b，则A>B，故B＝，根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－25c，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量在方向上的投影为||cos B＝13.(2013新标2) △ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【简解】(1) sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.14、（2015年新课标2文）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求 ； （II）若,求.1、已知中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的面积为S,且等于 （ ）A． B． C． D． 【答案】C 由得,即,所以,又,所以,即,所以,即,选C． 2、若三角形的内角满足，则的最小值是 ．【解析】3、在△中，为边上一点，，． （1）求的大小； （2）当时，求的值．解：（1） 由已知，， ∵∴。
2）（1）（2）4、已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间; （2)△ABC中,,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且C=60,c=3,求△ABC的面积.5、在△中,内角、、的对边分别是、、,且.(Ⅰ)求; (Ⅱ)设,为△的面积,求的最大值,并指出此时的值.答案：（1） （2），最大值3专心---专注---专业。