精选优质文档-----倾情为你奉上 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断 学习过程 【学习导航】 函数的单调性 单调性的定义定义法证明函数的单调性增函数减函数单调区间 知识网络 学习要求1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念;2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性;3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.xy0xy0 自学评价观察函数，的图象 从左至右看函数图象的变化规律:(1). 的图象是_________的，的图象在y轴左侧是______的，的图象在y轴右侧是_______的.(2). 在上，f（x）随着x的增大而___________;在 上，f（x）随着x的增大而_______;在上，f（x）随着x的增大而________.一、 函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。
2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间减函数: 增函数: ※ 增函数、减函数的定义xy0x1x2f(x1)f(x2)xy0x1x2 ; f(x1)f(x2) 2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间：（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数3）复合函数的单调性的判断： 设，，，都是单调函数，则在上也是单调函数①若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相同 ②若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）练习：（1）函数的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ． （2）的单调递增区间为 ．3、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数例题精讲;二函数单调性的证明．例题分析例1，证明：函数在上是减函数。
证明：设任意，∈（0，+∞）且，则，由，∈（0，+∞），得，又，得，∴，即所以，在上是减函数说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：不能说是原函数的单调递减区间；练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数的单调性2．根据单调函数的定义，判断函数的单调性xy12345-2-4-1-3-5123－1－2－3O例2，,下图是定义在区间[-5，5]上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？思维点拔: 观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域.,例3， 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积 V减小时，压强p将增大，试用函数的单调性证明之.思维点拔: 只需证明函数在区间上是减函数即可.三，函数单调性的应用例4．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f() = f(x)－f(y) （1）求f(1)的值． （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2 ． .解析：①在等式中，则f(1)=0．②在等式中令x=36，y=6则 故原不等式为：即f[x(x＋3)]＜f(36)，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：例5．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论． .解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，则f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋)2＋x22］．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋)2＋x22＞0，∴f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．例6．试讨论函数f(x)=在区间［－1，1］上的单调性． .解析： 设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．f(x1)－f(x2)=－==∵x2－x1＞0，＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)．当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．故f(x)=在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=在区间［0，1］上是减函数．例7．设函数f(x)=－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数． .解析：任取x1、x2∈0，＋且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)=－－a(x1－x2)=－a(x1－x2)=(x1－x2)(－a)(1)当a≥1时，∵＜1，又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数．(2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=，满足f(x1)=f(x2)=1∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋上不是单调函数注： ①判断单调性常规思路为定义法；②变形过程中＜1利用了＞|x1|≥x1;＞x2；③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．例8．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围． 解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)∴ 解得，∴m的取值范围是(－)例9．已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围． .解析： (1)当a=时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞)设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋=(x2－x1)＋=(x2－x1)(1－)∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－＞0，则f(x2)＞f(x1)可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f(1)=．(2)在区间［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．【拓展训练】1.下列函数中,在上为减函数的是( )A.y=3x B.y=-x2 C.y=︱x︱ D.y=2x+12.函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-13.函数在区间（1，4）上为（ ）函数.A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增4．已知函数在（－2，3）上是减函数，则有（ ）A.f(-1)