《2019-2020学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷【附答案】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷【附答案】（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019-2020学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 设z=i(2+i)，则z=( )A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i2. 设抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）A.1B.2C.3D.43. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a4+a6=6，则S7=( )A.7B.14C.21D.424. 已知双曲线x2a2-y2=1(a0)与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，则a等于（ ）A.2B.6C.23D.145. 如图，从甲地到乙地有
2、3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路从甲地到丁地的不同路线共有（ ）A.12条B.15条C.18条D.72条6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）A.15B.56C.55D.227. 在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，则EF等于( )A.EF=AC+12AB-23ADB.EF=-12AC-12AB+23ADC.EF=12AC-12AB+23ADD.EF=-12AC+12AB-23AD8. 已知F1，F2是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，若|P
3、F1|，|PF2|，|F1F2|构成公比为12的等比数列，则椭圆C的离心率为（ ）A.16B.14C.13D.259. 设等比数列an的前n项和是Sn，则“a10”是“S3S2”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件10. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在底面ABCD内运动，使得A1CM的面积为13，则动点M的轨迹为（ ）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.一段圆弧D.一条线段二、填空题共5小题，每小题4分，共20分)11. 复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数，则实数m_12. 若双曲线x2-y2b2=1(
4、b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程为_13. 在等比数列an中，a1a336，a2+a460，则公比q_14. 用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_15. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，若存在过原点的直线交椭圆于A，B两点，且AFBF，则椭圆的离心率的取值范围是_三、解答题共5小题，共40分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)16. 已知an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，a12，S314数列bn满足b15，b33，且bn-an为等差数列()求数列an和bn的通项公式；()求数列bn的前n项和Tn17. 已知向
5、量a=(-2,-1,2)，b=(-1,1,2)，c=(x,2,2)()当|c|22时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值；()若向量c与向量a，b共面，求实数x的值18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB，点E，F，G分别为PC，PA，BC的中点()求证：PBEF；()求证：FG/平面PCD；()求平面EFG与平面PAD所成二面角D-FG-E（锐角）的余弦值19. 已知椭圆C:x2a2+y23=1(a3)的离心率为12，过点(0,1)的直线l与C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线l与直线OD分别交直线x4于点M，N
6、()求椭圆C的标准方程；()求线段|MN|的最小值20. 定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”()已知等比数列an(nN*)满足：a2a3a4，2a1+a33a2，判断数列an是否为“M-数列”；()设m为正整数，若存在“M-数列”cn(nN*)，对任意不大于m的正整数k，都有ckkck+1成立，求m的最大值参考答案与试题解析2019-2020学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. D2. C3. B4. A5. C6. C7. B8. A9. C10. A二、填空题共5小题，每小题4分
7、，共20分11. 212. y2x13. 314. 4815. 22,1)三、解答题共5小题，共40分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. （1）设等比数列an的公比为q，等差数列bn-an的公差为d，由题设知q0由a12，S314a1(1+q+q2)解得：q2， an=2n b15，b33， 2d(b3-a3)-(b1-a1)-8， d-4，bn-an(b1-a1)+(n-1)d7-4n，所以bnan+7-4n2n+7-4n；（2）由()知bnan+7-4n2n+7-4n， Tn(2+22+23+.+2n)+n3+(7-4n)2=2n+1-2-2n2+5n17. （1）因为|c|22
8、时，所以x0且向量ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2)因为向量ka+b与c垂直，所以(ka+b)c=0即2k+60所以实数x和k的值分别为0和-3（2）因为向量c与向量a，b共面，所以设c=a+b(,R)因为(x,2,2)(-2,-1,2)+(-1,1,2)，则：x=-2-2=-2=2+2解得x=-12=-12=32所以实数x的值为-1218. （1）证明：因为PD平面ABCD，所以PDAD，PDCD，且底面ABCD为正方形，所以ADCD以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz，设DC1，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1
9、,1,0)，E(0,12,12)，F(12,0,12)，G(12,1,0)PB=(1,1,-1)，EF=(12,-12,0)，PBEF=12-12+0=0所以PBEF（2）证明：由()知，PDAD，ADCD，且PDDCD，所以AD平面PCD所以AD=(-1,0,0)是平面PCD的法向量FG=(0,1,-12)，因为FGAD=0，且FG平面PCD，所以FG/平面PCD()设平面EFG的法向量为n=(x,y,z)，则nEF=0nFG=0，即x-y=02y-z=0，令x1，得n=(1,1,2)平面PAD的法向量为CD=(0,1,0)设平面EFG与平面PAD所成二面角（锐角）为，则cos=|nCD|n
10、|CD|=66所以平面EFG与平面PAD所成二面D-FG-E角（锐角）的余弦值为6619. （1）由题意可得e=ca=12，b23，a2b2+c2，解得a2所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1（2）显然直线l的斜率存在设过点(0,1)的直线l的方程为ykx+1（k0，否则直线OD与直线x4无交点）直线l与椭圆C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=kx+13x2+4y2=12得(3+4k2)x2+8kx-80，0恒成立则x1+x2=-8k3+4k2，y1+y2k(x1+x2)+2=63+4k2所以D(-4k3+4k2,33+4k2)令x4，yM4k+1直线OD方程为y=-34k
11、x，令x4，yN=-3k，所以|MN|=|yM-yN|=|4k+1+3k|当k0时，|MN|4k+3k+143+1，当且仅当4k=3k时，即k=32时取“”当k0时，4k+3k=-(-4k)+(-3k)-43当且仅当k=-32时取“”此时|MN|=|4k+1+3k|43-1综上，线段|MN|的最小值为43-120. （1）设等比数列an的公比为q，则由a2a3a4，2a1+a33a2，可得：a12q3=a1q32a1+a1q2=3a1q，解得a1=1q=1， 数列an首项为1且公比为正数，即数列an为“M-数列”；（2）设cn的公比为q，存在“M-数列”cn(nN*)，对任意正整数k，当km时
12、，都有ckkck+1成立，即qk-1kqk对km恒成立，当k1时，q1，当k2时，2q2，当k3，两边取对数可得，lnkklnqlnkk-1对km有解，即lnkkmaxlnqlnkk-1min，令f(x)=lnxx(x3)，则f(x)=1-lnxx2，当x3时，f(x)0，此时f(x)递减， 当k3时，lnkkmax=ln33，令g(x)=lnxx-1(x3)，则g(x)=1-1x-lnxx2，令(x)1-1x-lnx，则(x)=1-xx2，当x3时，(x)0，即g(x)0， g(x)在3,+)上单调递减，即k3时，lnkk-1min=lnmm-1则ln33lnmm-1，下面求解不等式ln33lnmm-1，化简，得3lnm-(m-1)ln30，令h(m)3lnm-(m-1)ln3，则h(m)=3m-ln3，由k3得m3，h(m)0，h(6)3ln6-5ln3ln216-ln2430， 存在m0(5,6)使得h(m0)0， m的最大值为5，此时q313,514m的最大值为5试卷第7页，总7页
