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1、2019-2020学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1. 设z=i(2+i),则z=( )A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i2. 设抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是( )A.1B.2C.3D.43. 已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a4+a6=6,则S7=( )A.7B.14C.21D.424. 已知双曲线x2a2-y2=1(a0)与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,则a等于( )A.2B.6C.23D.145. 如图,从甲地到乙地有
2、3条路,从乙地到丁地有2条路;从甲地到丙地有3条路,从丙地到丁地有4条路从甲地到丁地的不同路线共有( )A.12条B.15条C.18条D.72条6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.227. 在四面体ABCD中,点F在AD上,且AF=2FD,E为BC中点,则EF等于( )A.EF=AC+12AB-23ADB.EF=-12AC-12AB+23ADC.EF=12AC-12AB+23ADD.EF=-12AC+12AB-23AD8. 已知F1,F2是椭圆C的左、右焦点,P是椭圆C上的一点,若|P
3、F1|,|PF2|,|F1F2|构成公比为12的等比数列,则椭圆C的离心率为( )A.16B.14C.13D.259. 设等比数列an的前n项和是Sn,则“a10”是“S3S2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件10. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在底面ABCD内运动,使得A1CM的面积为13,则动点M的轨迹为( )A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.一段圆弧D.一条线段二、填空题共5小题,每小题4分,共20分)11. 复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,则实数m_12. 若双曲线x2-y2b2=1(
4、b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程为_13. 在等比数列an中,a1a336,a2+a460,则公比q_14. 用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为_15. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,若存在过原点的直线交椭圆于A,B两点,且AFBF,则椭圆的离心率的取值范围是_三、解答题共5小题,共40分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)16. 已知an是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn,a12,S314数列bn满足b15,b33,且bn-an为等差数列()求数列an和bn的通项公式;()求数列bn的前n项和Tn17. 已知向
5、量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2)()当|c|22时,若向量ka+b与c垂直,求实数x和k的值;()若向量c与向量a,b共面,求实数x的值18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDAB,点E,F,G分别为PC,PA,BC的中点()求证:PBEF;()求证:FG/平面PCD;()求平面EFG与平面PAD所成二面角D-FG-E(锐角)的余弦值19. 已知椭圆C:x2a2+y23=1(a3)的离心率为12,过点(0,1)的直线l与C有两个不同的交点A,B,线段AB的中点为D,O为坐标原点,直线l与直线OD分别交直线x4于点M,N
6、()求椭圆C的标准方程;()求线段|MN|的最小值20. 定义:首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”()已知等比数列an(nN*)满足:a2a3a4,2a1+a33a2,判断数列an是否为“M-数列”;()设m为正整数,若存在“M-数列”cn(nN*),对任意不大于m的正整数k,都有ckkck+1成立,求m的最大值参考答案与试题解析2019-2020学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1. D2. C3. B4. A5. C6. C7. B8. A9. C10. A二、填空题共5小题,每小题4分
7、,共20分11. 212. y2x13. 314. 4815. 22,1)三、解答题共5小题,共40分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程16. (1)设等比数列an的公比为q,等差数列bn-an的公差为d,由题设知q0由a12,S314a1(1+q+q2)解得:q2, an=2n b15,b33, 2d(b3-a3)-(b1-a1)-8, d-4,bn-an(b1-a1)+(n-1)d7-4n,所以bnan+7-4n2n+7-4n;(2)由()知bnan+7-4n2n+7-4n, Tn(2+22+23+.+2n)+n3+(7-4n)2=2n+1-2-2n2+5n17. (1)因为|c|22
8、时,所以x0且向量ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2)因为向量ka+b与c垂直,所以(ka+b)c=0即2k+60所以实数x和k的值分别为0和-3(2)因为向量c与向量a,b共面,所以设c=a+b(,R)因为(x,2,2)(-2,-1,2)+(-1,1,2),则:x=-2-2=-2=2+2解得x=-12=-12=32所以实数x的值为-1218. (1)证明:因为PD平面ABCD,所以PDAD,PDCD,且底面ABCD为正方形,所以ADCD以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,设DC1,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(1
9、,1,0),E(0,12,12),F(12,0,12),G(12,1,0)PB=(1,1,-1),EF=(12,-12,0),PBEF=12-12+0=0所以PBEF(2)证明:由()知,PDAD,ADCD,且PDDCD,所以AD平面PCD所以AD=(-1,0,0)是平面PCD的法向量FG=(0,1,-12),因为FGAD=0,且FG平面PCD,所以FG/平面PCD()设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则nEF=0nFG=0,即x-y=02y-z=0,令x1,得n=(1,1,2)平面PAD的法向量为CD=(0,1,0)设平面EFG与平面PAD所成二面角(锐角)为,则cos=|nCD|n
10、|CD|=66所以平面EFG与平面PAD所成二面D-FG-E角(锐角)的余弦值为6619. (1)由题意可得e=ca=12,b23,a2b2+c2,解得a2所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1(2)显然直线l的斜率存在设过点(0,1)的直线l的方程为ykx+1(k0,否则直线OD与直线x4无交点)直线l与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+13x2+4y2=12得(3+4k2)x2+8kx-80,0恒成立则x1+x2=-8k3+4k2,y1+y2k(x1+x2)+2=63+4k2所以D(-4k3+4k2,33+4k2)令x4,yM4k+1直线OD方程为y=-34k
11、x,令x4,yN=-3k,所以|MN|=|yM-yN|=|4k+1+3k|当k0时,|MN|4k+3k+143+1,当且仅当4k=3k时,即k=32时取“”当k0时,4k+3k=-(-4k)+(-3k)-43当且仅当k=-32时取“”此时|MN|=|4k+1+3k|43-1综上,线段|MN|的最小值为43-120. (1)设等比数列an的公比为q,则由a2a3a4,2a1+a33a2,可得:a12q3=a1q32a1+a1q2=3a1q,解得a1=1q=1, 数列an首项为1且公比为正数,即数列an为“M-数列”;(2)设cn的公比为q,存在“M-数列”cn(nN*),对任意正整数k,当km时
12、,都有ckkck+1成立,即qk-1kqk对km恒成立,当k1时,q1,当k2时,2q2,当k3,两边取对数可得,lnkklnqlnkk-1对km有解,即lnkkmaxlnqlnkk-1min,令f(x)=lnxx(x3),则f(x)=1-lnxx2,当x3时,f(x)0,此时f(x)递减, 当k3时,lnkkmax=ln33,令g(x)=lnxx-1(x3),则g(x)=1-1x-lnxx2,令(x)1-1x-lnx,则(x)=1-xx2,当x3时,(x)0,即g(x)0, g(x)在3,+)上单调递减,即k3时,lnkk-1min=lnmm-1则ln33lnmm-1,下面求解不等式ln33lnmm-1,化简,得3lnm-(m-1)ln30,令h(m)3lnm-(m-1)ln3,则h(m)=3m-ln3,由k3得m3,h(m)0,h(6)3ln6-5ln3ln216-ln2430, 存在m0(5,6)使得h(m0)0, m的最大值为5,此时q313,514m的最大值为5试卷第7页,总7页