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1、数学必会基础题型平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1向量：既有大小乂有方向的量。记作：莊或方。2向量的模：向量的大小(或长度)，记作:AB或1方丨。3.单位向量:长度为1的向量。若2是单位向量,则 kl=lo4零向量：长度为o的向量。记作：Oo【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB = -BA o8. 三角形法则:AB-BC = AC； Afi4-BC + CD + 5 = AE； AB-AC = CB (指向被减数)9. 平行四边形法则：以方为临
2、边的平行四边形的两条对角线分别为a + b , a-b.10 共线定理:a = Aba/ /b o当20时,方与乙同向；当2vO时,2与5反向。11基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12向量的模：若a = (x,y)f 贝IJI扣 J” + y2 ,=a2f 1方 + 力=J(G+疗13. 数量积与夹角公式：crb=a-b cosO ； cos& = f 1a-b14. 平行与垂直：a / /b a = Abxy2 = x2yx ； d 丄 boa /? = Oo xx2 + y, y2 = 0题型1基本概念判断正误：(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。(2) 若两个向量不相等，则它
3、们的终点不可能是同一点。(3) 与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4) 四边形ABCD是平行四边形的条件是盘=丽。(5) 若而=乙5,则A、B、C、D四点构成平行四边形。(6) 因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。(7) 若a与乙共线,乙与c共线，贝Ila与c共线。(8) 若ma = mb，贝a=b o(9)若ma = na ,贝Um = n。(11)若a-b=a-hf 贝aHb.(12)若G+和力,则：丄讥题型2向量的加减运算1设d表示向东走8km” ,乙表示向北走6km”，贝 a+ b=。2. 化简(AB + MB) + (BO + BCOM =。3. 已知I刃1=5, I亦1=3,则
4、I而丨的最大值和最小值分别为、o4. 己知犹为殛与而的和向量，且況=方,丽=乙，则加=，AD=o_3 一- 一5. 已知点 C 在线段 AB 上，RAC = -AB，贝MC=_BC , AB =_BC .题型3向量的数乘运算1 计算：(1) 3(： +初一2(方 + 厉=(2) 2(2a + 5b-3c)-3(-2a + 3&-2c)=2. 已知 0 = (1,4)/ = (3,8),贝i3a-b=。题型4作图法球向量的和 已知向量莎如下图,请做出向量3方+尹访-尹。/ b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1. 已知在ABC中,D是BC的中点,请用向量AB,AC表示AD。2在平行四边形ABC
5、D中，AC = a,BD = h ,求砸和丽。题型6向量的坐标运算1. 已知而= (4,5), A(2,3),则点B的坐标是o2. 已知PQ = (-3,-5) , P(3,7),则点Q的坐标是。3. 若物体受三个力尺=(1,2), F2 = (-2,3), F3=(-l,-4),则合力的坐标为4已知万=(_3,4), 5 = (5,2),求N +方，a-b , 3a-2b .5.已知A(1,2),B(3,2),向量刁=(兀+ 2,兀一3).，-2)与盘和等，求兀,y的值。6已知 AB = (2,3), BC = (m,/i), C5 = (-1,4),则丽=7已知0是坐标原点,A一4,8),
6、 _aZB + 3BC = 0,求况的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1. 已知石,云是平面内的一组基底，判断下列毎组向量是否能构成一组基底:C. el + 3d和勺-3弓A.弓+勺和幺勺 B. 3幺2匕和4幺2-6弓2已知万=(3,4),能与&构成基底的是()3 44 33 44A.B.C.D. (-1,-)5 55 55 53题型8.结合三角函数求向量坐标1 已知0是坐标原点，点A在第二彖限，丨041=2,厶04 = 150,求刃的坐标。2. 已知0是原点，点A在第一象限，丨041= 4/3 , ZxOA = 60,求莎的坐标。题型9.求数量积1已151=3,11=4,且&与方的
7、夹角为60,求(1) a b , (2) “ + 厉,(3) (a-b) b , (4) (20-厉 + 3厉。22已知N = (2,6),5 = (8,10),求(1) I別,区1, (2)荷,(3)云(2云+ b),(4) (2a-h)a + 3h)o题型10.求向量的夹角1已知帀匕&仍1=3, d-b=12f求&与卩的夹角。2. 已知万=(巧,1)/= (一2盯,2),求刁与方的夹角。3. 已知 A(l,0), B(0,l), C(2,5),求 cos ZB AC o题型11 求向量的模1. 已知151=3,11=4,且运与方的夹角为60,求(1) la + blf (2)丨2万一3力。
8、2已知玄二一6),5 = (-8,10),求(1) 151,I&I, (5) I5 + &I, (6) a-ho23. 已矢ia=Lb=2, 3a-2b 1=3,求 13力 + 力。题型12.求单位向量【平行的单位向量:上士盒】1. 与5 = (12,5)平行的单位向量是o2. 与,n = (-ll)平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直1已知云= (6,2),方=(一3,加),当加为何值时,(1) allb 2 (2)五丄5?2 .已知5 = (1,2), 5 = (-3,2), (1) R为何值时，向量ka + b与3卩垂直?(2) k为何值时，向量ka+b与万-3卩平行？3. 已知
9、N是非零向量，a h=a-c,且求证：N丄(方一0)。题型14 三点共线问题1.已知A(0,2), B(2,2), C(3,4),求证:A,B,C三点共线。一 b_2设 AB = (a + 5b),BC = -2a + 8fe,CD = 3(a-b),求证：A、B、D 三点共线。23. AAB = a2b,BC = -5a + 6b,CD = la-2bf 则一定共线的三点是4已知 A(l, 3), B(8,-l),若点C(2al,a + 2)在直线 AB上,求a 的值。5已知四个点的坐标0(0,0), A(3,4), B(-l,2), C(l,l),是否存在常数f,使OA-tOB = OC
10、成立?题型15.判断多边形的形状1. 若AB = 3 , CD = -5e, RAD=BC则四边形的形状是2. 已知A(l,0), 5(4,3), C(2,4), D(0,2),证明四边形ABCD是梯形。3. 已知人(-2,1), 3(6,-3), C(0,5),求证：AABC是直介三角形。4在平面直角坐标系内，OA = (-1,8),OB = (-4,1),OC = (1,3),求证：AABC是等腰直角三角形。题型16 平面向量的综合应用1已知力二(1,0),厂= (2,1),当R为何值时,向量ka-h与万+ 3卩平行?2已知万二(巧,厉)，且&丄b, b=2,求方的坐标。3.已知a与厶同向
11、，b = (1,2),贝Ija方= 10,求a的坐标。3已知5 = (1,2), 5 = (3,1), (5,4),则4. 已知力= (5,10), h - (-3,-4), c = (5,0),请将用向量表小向量乙。5 已知力=(加,3), & =(2,-1), (1)若臣与5的夹角为钝角,求加的范围;(2)若尬与方的夹角为锐角,求加的范围。6已知a = (6,2), b = (-3,m),当加为何值时,(1)刁与5的夹角为钝角？ (2)0与b的夹角为锐角?7已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(-1,2), B(3,4), D(2,l), 1LAS/DC, AB = 2CD ,求点C的坐标。8. 已知平行四边形43CD的三个顶点的坐标分别为4(2,1), 3(-1,3), C(3,4), 求第四个顶点D的坐标。9. 一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向 成30。角，求水流速度与船的实你速度。10. 三个顶点的坐标分别为 4(3,4), 3(0,0), C(c,0),(1)若= 求c的值；(2)若c = 5,求sinA的值。
