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1、一类宿主具有垂直传染的媒介传染病模型分析【摘要】本文建立并研究了一类宿主具有垂直传染 和预防接种的的媒介传染病模型，给出了疾病流行与否的阈 值并讨论了平衡点的存在性。运用Hurwitz判据证明了当基 本再生数RO< 1时，无病平衡点是局部渐近稳定的；当 RO>l时，地方病平衡点也是局部渐近稳定的，并对证明 结果进行了数值模拟。【关键词】媒介传染；垂直传染；动力学系统；基本再生 数Analysis of a Kind of Host Vector Epidemic Modelwith Vertical TransmissionXIAO Ya-nan XUE Yakui(School
2、of Science, North University of China, Taiyuan Shanxi 030051， China)Abstract The Host-Vector epidemic model with vertical transmission and vaccination is formulatedand studied. The threshold is identified whichdetermines the outcome of disease and the existence ofthe equilibrium is discussed. The mo
3、del is shown that the disease free equilibrium is locally stability whenRO<；1 and the endemic equilibrium is locally asymptotically stable when RO>；1. The numerical simulations are carried out to prove the results.【Key words Host-vector； Vertical transmission；Dynamic modeling； Basic reproduction
4、 number0引言传染病是由各种病原体(大部分是微生物，小部分为寄 生虫)引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互 传播的一类疾病。一直以来，传染病的流行就是人类生存的 大敌，其中媒介传染病是很常见的一种。由于传染病不能采 取实验形式进行研究，通过建立传染病动力学模型进行理论 性定量研究就显得至关重要，近年来得到了许多显著成果并 对传染病的防治起到了重要的作用1-2。本文建立了 一类 宿主具有垂直传染的媒介传染病模型，给出了决定疾病是否 爆发的阈值_基本再生数，并对系统平衡点的稳定性进行了 分析，最后通过Mat lab进行了数值模拟，以图形的形式给 出平衡点稳定性的说明。1动力学模型考
5、虑宿主为具有垂直传染和预防接种的SIR模型，假设 染病媒介叮咬易感人群使人患病，而易感媒介通过叮咬染病 人群而被感染。将人口分为易感类、染病者类和康复类，用 SH (t), IH (t), RH (t)分别表示t时刻的易感，染病，康复类的人群数量，NH (t) =SH (t) +IH (t) +RH (t)。假 设不考虑因病死亡，用b和b分别表示非染病者(S+R)和 染病者I的出生率系数;d和cf是相应的死亡率系数，Y表 示染病者的康复率，q是垂直传染率(p+q=l), m是对易感 者和康复者的新生儿进行预防接种的比例。对于媒介，分为 易感，感染两类，用SV (t), IV (t)分别表示t时
6、刻的易 感、染病媒介的数量，NV (t) =SV (t) +IV (t)o P是媒介 的出生和死亡率系数。Pl表示染病媒介对易感人群的感染 率系数，3V表示染病人群对易感媒介的感染率。假设康复 者终身免疫该疾病，令匕斗，d=d，根据仓室模型思想可 以得到如下传染病动力学模型： (1)由于，故人口总数和媒介总数均为常数，不妨设 为NH=SH+IH+RH=1，NV=IV+RV=1,我们只需考虑如下系统： (2)易知SH，IH，IVeRBH : OSH, IH, IV彡 1是式(2) 的一个正向不变集。2再生数的表迗式和平衡点的稳定性 系统(2)总存在无病平衡点E0= (1-m, 0, 0)。由传染
7、 病动力学知识，令基本再生数R0=。基本再生数表示在发 病初期，当所有人均为易感者时，一个病人在患病期间内所 传染的人数3-4。关于无病平衡点的稳定性我们有以下的结论:定理一对于系统(2)，当RO<l时，无病平衡点E0 是局部渐近稳定的。证明该系统在无病平衡点E0的雅可比矩阵为，其对应的特征方程(人+b) A 2+ ( u +pbr + V )入+ u (pb, +v ) -3 1 3 20令 f (入)=入 2+al 入+a2，al=u+pb +Y，a2= u (pbz +Y ) -3 132,当 RO<l 时，al>；O, a2>；0o 根据Hurwitz判据5，特征方
8、程的根均有负实部，则无病 平衡点E0是局部渐近稳定的。定理二对于系统(2)，当RO>l时，存在唯一的地 方病平衡点E*。证明求模型(2)的地方病平衡点国(S国，I国， R国，I国)。将S国，I国，R国，I代入模型(2) 中得( lm ) b (1H )+pblSHHIHa-bSHH=O (3)3 1SHHI- (pbz +Y ) IHH-0 (4)32 (1-IHH) I-uI=O (5)(3)可以得到由(5)可得，由(4)可得，将S国，I代入 -3 +pbz -b (1-m) -H+b(1-m) =0即国当R0>l时，I>0，即系统(2)存在唯一的 地方病平衡点。定理三对于
9、系统(2)，当R0>l时，地方病平衡点 E*是局部渐近稳定的。证明该系统在地方病平衡点E*的雅可比矩阵为对应的特征方程为(入+b)入2 (pbz +Y + 32IBB+P )入 + (pbz + v ) (32IM+y)1 32SHH (1-1国国)+ 3 lIBBb ( 1-m )+Y入+b( 1-m )+ V (32I+u ) =0令 p (入)=入3+al入2+a2入+a3， 其中 al=pb +v + 2IBB+u+b, a2= (pbz +v ) ( 32IBH+U ) -3 1 32SHH ( 1-1国)+b ( pbz +v + 2IBB+u )+ 3 lIBBEb (1-
10、m) +v, a3=b (pbz +v ) ( P2IBB+H ) -bP 1 2SHH(1-IHH)+ liai( 32IHH+U )b(l-m) + Y o显然al>； 0,也容易证明Hk>； 0, k=2，3。根据 Hurwitz判据2，p ( A ) =0的根均具有负实部。从而系统 (2)在地方病平衡点处是局部渐近稳定的。3数值模拟从数值角度出发，以图形的形式给出平衡点稳定性的说1中仿真所用参数的对应数值为b二0.08，b =0.02,u=0. 6,0 1=0. 034，P 2=0. 065， v =0. 045， m=0. 7，p=0.3，则 R0=0. 1472<；l2
11、中仿真所用参数的对应数值为 b=0. 08，bz =0.02，u=0. 6，3 1=0. 36,3 2=0. 28,Y=0. 08,m=0.6，p 二 0.28,则 R0=0. 8860< 1，疾病消r:3中仿真所用参数的对应数b=0. 08, bz =0.02, u =0. 6，3 1=0. 36，0 2=0. 28， v =0. 045 ,m=0. 6，p二0.08，则 R0=1.2009>；l4中仿真所用参数的对应数值为 b=0. 08，b =0.02，w=0. 6, 3 1=0. 76, 3 2=0. 55, Y:0. 0032,m:0. 0008,p-0. 0004,则 R
12、0=14. 7864> 1，疾病流行。3.4 【参考文献】lAbid Ali Lashari， Gul Zamanb. Global dynamics of vector-borne diseases with horizontal transmission in host populationJ. Computers and Mathematics with Applications, 2011， 61: 745-754.2 B. Buonomo, Cr. Vargas-De-Len. Global Analysis of a Host-Vector Model with Infect
13、ious force in Latent and Infected PeriodJ. Acta Analysis Functionalis Applicata， 2012， 14 （04）.3 R. M. Anderson, R.M. May. Co-evolution of host and parasitesJ. Parasitology， 1982，85： 411-426.4 H. W. Hethcote. The mathematics of infectious diseasesJ. SIAM Rev, 2000，42: 599-653.5 Z. E. Ma, Y. C. Zhou, W. D. Wen. The mathematical modeling and research on dynamics of infectious diseasesM. Beijing： Science Press, 2004.责任编辑：汤静基金项目：山西省基础研究计划项目（自然）。作者简介：肖亚男（1990），女，山西吕梁人，硕士 研究生，从事生物数学研究。
