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1、导数及其应用 - 导数及其运算一、知识导学1. 瞬时变化率： 设函数)(xfy在0 x附近有定义， 当自变量在0 xx附近改变量为x时，函数值相应地改变)()(0 xfxxfy，如果当x趋近于 0 时，平均变化率xxfxxfxy)()(00趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c 的差的绝对值越来越小， 可以小于任意小的正数），那么常数 c 称为函数)(xf在点0 x的瞬时变化率。2. 导数：当x趋近于零时，xxfxxf)()(00趋近于常数c。可用符号“”记作：当0 x时，xxfxxf)()(00c或记作cxxfxxfx)()(lim000，符号“”读作 “趋近于”。 函数在0 x的
2、瞬时变化率， 通常称作)(xf在0 xx处的导数，并记作)(0 xf。3. 导函数： 如果)(xf在开区间),(ba内每一点x都是可导的， 则称)(xf在区间),(ba可导。这样，对开区间),(ba内每个值x，都对应一个确定的导数)(xf。于是，在区间),(ba内，)(xf构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(xfy的导函数。记为)(xf或y（或xy） 。4. 导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，则)()() )()(xgxfxgxf即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差） 。2）函数积的求导法则：设)(xf，)(xg是
3、可导的，则)()()()( )()(xgxfxgxfxgxf即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，0)(xg，则)()()()()()()(2xgxgxfxfxgxgxf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -5. 复合函数的导数:设函数)(xu在点x处有导数)(xux, 函数)(ufy在点x的对应点u处有导数)(ufyu, 则复合函数fy)(x在点x处有导数 , 且xuxuyy
4、. 6. 几种常见函数的导数： (1)(0为常数CC (2)(1Qnnxxnn）（(3)xxcos)(sin (4)xxsin)(cos(5)xx1)(ln (6)exxaalog1)(log(7)xxee )( (8)aaaxxln)(二、疑难知识1. 导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2. 运用复合函数的求导法则xuxuyy, 应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后, 要把中间变量换成自变量的函数, 层层求导 . (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如xx2sin)2(cos实际上应是x2sin2。(3) 求复合函数的导
5、数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如4)31 (1xy选成uy1，xwwvvu3,1,4计算起来就复杂了。3. 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率. 导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。 对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.的关系与)()(0 xfxf)(0 xf表示0)(xxxf在处的导数， 即)(0 xf是函数在某一点的导数；)(xf表示函数)(xf在某给定区间),(ba内的导函数，此时)(xf是在),(ba上x的函数，即)(xf是在),(ba内任一点的导数。5. 导数与连续的关系精品学习资料
6、 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -若函数)(xfy在0 x处可导，则此函数在点0 x处连续，但逆命题不成立，即函数)(xfy在点0 x处连续， 未必在0 x点可导， 也就是说， 连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6. 可以利用导数求曲线的切线方程由于函数)(xfy在0 xx处的导数，表示曲线在点)(,(00 xfxP处切线的斜率，因此，曲线)(xfy在点)(,(00 xfxP处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(xfy在点0 xx处的导数，即曲线)(xfy在点)(,(00
7、xfxP处切线的斜率。（2） 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：)(000 xxxfyy，如果曲线)(xfy在点)(,(00 xfxP的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0 xx. 三、经典例题 例 1 已知2)2cos1(xy, 则y . 错因： 复合函数求导数计算不熟练, 其x2与x系数不一样也是一个复合的过程, 有的同学忽视了 , 导致错解为 :)2cos1 (2sin2xxy. 正解： 设2uy,xu2cos1, 则)2()2sin(2)2cos1(2xxuxuuyyxux)2cos1(2sin42)2sin(2xxxu)2cos1 (2si
8、n4xxy. 例 2 已知函数)1)(1(21) 1)(1(21)(2xxxxxf判断 f(x)在 x=1 处是否可导？错解：1) 1(, 1) 11 (21 1)1(21lim220fxxx。分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解：1) 11 (21 1)1(21limlim2200 xxxyxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - f(x)在 x=1 处不可导 . 注：0 x，指x逐渐减小趋近于0；0 x，指x逐渐增大趋近于0。点评： 函数在某一点的
9、导数，是一个极限值，即xxfxxfx)()(lim000， x0，包括x0，与 x0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. 例 3 求322xy在点)5, 1(P和)9,2(Q处的切线方程。错因： 直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。分析： 点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y在1x处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线解：4.4, 3212xyxyxy即过点P的切线的斜率为4，故切线为：14xy设过点Q的切线的切点为),(00yx
10、T，则切线的斜率为04x，又2900 xykPQ，故00204262xxx，3, 1.06820020 xxx。即切线QT的斜率为4 或 12，从而过点Q的切线为：1512, 14xyxy点评 ： 要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标 例 4 求证：函数xxy1图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程 .分析：由导数的几何意义知，要证函数xxy1的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -
11、- - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -解： （1）111,12xyxxy，即对函数xxy1定义域内的任一x，其导数值都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数xxy1图象上各点处切线的斜率都小于1. （2）令0112x，得1x，当1x时，2111y；当1x时，2y，曲线xxy1的斜率为0 的切线有两条， 其切点分别为)2, 1(与)2, 1(，切线方程分别为2y或2y。点评：在已知曲线)(xfy切线斜率为k的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)(xfy的导数值为k时的解，即方程kxf)(的解，将方程kxf)(的解代入)(xfy就可得切点的纵坐标
12、，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程kxf)(有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. 例 5 （ 02 年高考试题）已知0a，函数axxf3)(，,0 x，设01x，记曲线)(xfy在点)(,(11xfxM处的切线为l . （1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为)0,(2x，求证：312ax；若311ax，则1231xxa分析： 本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解： （1）xaxaxxxyxfxx3300/)(limlim)(xxxxxxx3220)()(33lim22203)(33limxxxxxx2113)(xxf切线l的方程为)()(111
13、xxxfxfy即)(3)(12131xxxaxy. （ 2）依题意，切线方程中令y=0 得，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -由知2131123xaxxx，2131123xaxxx 例 6 求抛物线2xy上的点到直线02yx的最短距离 . 分析： 可设),(2xxP为抛物线上任意一点，则可把点P到直线的距离表示为自变量x的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线02yx的距离即为本题所求. 解： 根据题意可知，与直线 x y
14、2=0 平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线xy2=0 的距离最短，设切点坐标为（），那么12|2|000 xxyxxxx, 210 x 切点坐标为)41,21(，切点到直线xy2=0 的距离8272|24121|d， 抛物线上的点到直线的最短距离为827. 四、典型习题1. 函数)(xfy在0 xx处不可导，则过点)(,(00 xfxP处，曲线)(xfy的切线（）A必不存在B必定存在 C 必与 x 轴垂直 D不同于上面结论2.332xxy在点 x=3 处的导数是 _. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 -
15、- - - - - - - -3. 已知23)(23xaxxf，若4)1(f，则a的值为 _. 4. 已知 P（ 1，1），Q（2，4）是曲线2xy上的两点，则与直线PQ平行的曲线2xy的切线方程是 _. 5. 如果曲线103xxy的某一切线与直线34xy平行，求切点坐标与切线方程 . 6若过两抛物线222xxy和baxxy2的一个交点为P的两条切线互相垂直 .求证：抛物线baxxy2过定点Q，并求出定点Q的坐标 . 10.2 导数的应用一、知识导学1. 可导函数的极值（1）极值的概念设函数)(xf在点0 x附近有定义，且若对0 x附近的所有的点都有)()(0 xfxf（或)()(0 xfxf
16、） ，则称)(0 xf为函数的一个极大（小）值，称0 x为极大（小）值点. （2）求可导函数)(xf极值的步骤 : 求导数)(xf。求方程0)(xf的根 . 求方程0)(/xf的根 . 检验)(xf在方程0)(xf的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极小值. 2. 函数的最大值和最小值（1）设)(xfy是定义在区间ba,上的函数，)(xfy在),(ba内有导数，求函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值，可分两步进行. 求)(xfy在),(ba内的极值 . 将)(xfy在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - -小的一个为最小值. （2）若函数)(xf在ba,上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值；若函数)(xf在ba,上单调递减，则)(af为函数的最大值，)(bf为
