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1、学习必备欢迎下载高中数学必修5_第三章不等式 复习知识点总结与练习（二）第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题知识能否忆起 1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：不等式表示区域AxBy C0 直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxBy C0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定， 满足不等式的， 则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧2
2、线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量 x， y 组成的不等式 (组) 线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程 )组成的不等式(组) 目标函数关于 x，y 的函数解析式，如z2x 3y 等线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y) 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域” 的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，
3、把直线画成实线； (2)特殊点定域，即在直线AxByC0 的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载测试点代入不等式检验，若满足不等式， 则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当C 0 时，常把原点作为测试点；当C0 时，常选点 (1,0)或者 (0,1)作为测试点2最优解问题如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移
4、动，最先通过或最后通过的顶点便是特别地， 当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个二元一次不等式(组)表示平面区域典题导入例 1(2011 湖北高考 )直线 2xy100 与不等式组x0，y0，xy 2，4x3y 20表示的平面区域的公共点有 () A0 个B1 个C2 个D无数个自主解答 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分 )直线 2xy100 恰过点 A(5,0)，且斜率 k 2kAB43，即直线 2xy 100 与平面区域仅有一个公共点A(5,0)答案 B 由题悟法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意： 不等式中不等号有无等号
5、，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点以题试法精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1(1)(2012海淀期中 )若满足条件x y0，x y20，ya的整点 (x，y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为 () A 3 B 2 C 1 D 0 (2)(2012北京朝阳期末 )在平面直角坐标系中，不等式组xy0，xy40，xa所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为 _
6、解析： (1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a0时，只有 4 个整点 (1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a 1 时，正好增加(1， 1)，(0， 1)，(1， 1)，(2， 1)，(3， 1)5 个整点，故选 C. (2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的ABC ，且A(2,2)，B(a，a4)，C(a， a)，若 a0，则有ABC 的面积 SABC4，故 a0，BC 的长为2a 4，由面积公式可得 ABC 的面积 SABC12(a 2) (2a 4) 9，解得 a1. 答案： (1)C(2)1 求目标函数的最值典题导入例 2(1)(2012新课标全国卷 )设
7、 x， y 满足约束条件xy 1，xy3，x0，y0，则 zx2y 的取值范围为 _精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(2)(2012广州调研 )已知实数x，y 满足x0，y1，2x2y10，若目标函数zaxy(a0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为 _自主解答 (1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当直线 y12xz2过点 B(1,2)时， z 取得最小值为3；当直线过点A(3,0)时， z取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为3,3(
8、2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线axy 0，可知当平移到与直线2x2y1 0 重合，即 a 1 时，目标函数zaxy 的最小值有无数多个答案 (1) 3,3(2)1 若本例 (2)条件变为目标函数zaxy(a0)仅在点12， 1 处取得最小值，其它条件不变，求 a 的取值范围解： 由本例图知，当直线axy0 的斜率 k a 1，即 a 1 时，满足条件，所求 a 的取值范围为( ， 1)由题悟法1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby. 求这类目标函数的最值常将函数z ax
9、by 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(3)斜率型：形如zybxa. 注意： 转化的等价性及几何意义以题试法2 (1)设 z2xy， 其中 x， y 满足xy0，xy0，0yk，若 z 的最大值为6， 则 k 的值为 _；z 的最小值为 _(2)已知 O 是坐标原点， 点 A(1,0)， 若点 M(x， y)为平面区域x y2，x 1，y 2上
10、的一个动点，则|OAOM|的最小值是 _解析：(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x y6，结合图形分析可知，要使z2xy 的最大值是6，直线 yk必过直线2x y6 与 xy0 的交点，即必过点(2,2)，于是有k2；平移直线2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z2xy 取得最小值，最小值是z2(2)2 2. (2) 依 题 意 得 ，OAOM (x 1 ， y) ， |OAOM|x12y2可视为点 (x，y)与点 (1,0)间的距离， 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中
11、，由点 (1,0)向直线 xy2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0)的距离最小，因此 |OAOM|的最小值是|102|2322. 答案： (1)22(2)322线性规划的实际应用典题导入例 3(2012 四川高考 )某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1 桶需耗 A原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品1 桶需耗 A原料 2 千克， B 原料 1 千克每桶甲产精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400
12、 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、B 原料都不超过12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是() A1 800 元B2 400 元C2 800 元D 3 100 元自主解答 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为 z 元，则x2y12，2xy12，x0，y0，z300 x400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300 x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z300 x400y 取得最大值，最大值是z300 440042 800，即
13、该公司可获得的最大利润是2 800 元答案 C 由题悟法与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：设未知数，确定线性约束条件及目标函数；转化为线性规划模型；解该线性规划问题，求出最优解；调整最优解以题试法3(2012 南通模拟 )铁矿石 A 和 B 的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b(万吨 )c(百万元 ) A 50%13 B 70%0.56 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨 )铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨 )，则购买铁矿石的最少费用为 _百万元解析： 可设需购买A 铁矿石 x 万吨， B 铁矿
14、石 y 万吨，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载则根据题意得到约束条件为x0，y0，0.5x0.7y1.9，x0.5y2，目标函数为z3x 6y，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为zmin316 215. 答案： 15 第四节基本不等式知识能否忆起 一、基本不等式abab21基本不等式成立的条件：a0，b0. 2等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号二、几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；baab2(a，
15、b 同号 )abab22(a，bR)；ab22a2 b22(a，bR)三、算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， xy 有最小值是2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大) 1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正 各项均精品学习资料 可选择p d f - - -
16、- - - - - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载为正； 二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2对于公式ab2 ab， abab22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和 ab 的转化关系3运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab 逆用就是 aba2b22；ab2ab(a，b0)逆用就是 aba b22(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件利用基本不等式求最值典题导入例 1(1)已知 x0，则 f(x)24xx 的最大值为 _(2)(2012浙江高考 )若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是 () A.245B.285C5 D 6 自主解答 (1) x0，x0， f(x)24xx24x x. 4x(x)244，当且仅当x4x，即 x 2 时等号成立 f(x)24x x24 2， f(x)的最大值为 2. (2) x0，y 0，由 x3y 5xy 得151y3x1. 3x 4y 1
