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1、广东省深圳市红岭中学2019届高三数学第四次模拟考试试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若i , i，则AB C D2已知集合，则中元素的个数为 A9B8 C5 D43.向量a，b满足|a|1，|b|，(ab)(2ab)，则向量a与b的夹角为A45 B60 C90 D1204设x，y满足约束条件，则的取值范围是A0,2B0,3 C3,2 D 3,05执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入Ak7? Ck6? D k7?6.函数的图象大致为 A B C D7甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，
2、命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为A0.45 B0.6 C0.65 D0.758如图是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于A. B. C. D.9.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为A2B3 C4 D510将函数f(x)2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11已知函数f(x)(exex)x，f(log5x)f(logx)2f(1)，则
3、x的取值范围是A. B1,5 C. D.5，)12已知点为双曲线的右焦点，已知直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是A B C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_14(1xx2)6的展开式中的常数项为_15.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_16. 在ABC中，若BC=6，AB=2AC, 则ABC的面积的最大值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，数列满
4、足（1）求； （2）设，求数列的前项和.18. (本小题满分12分） 如图，平行四边形中， 是A B的中点.将沿折起，如图,使面面，是的中点. （1）求证：平面；（2）若是棱上的动点，当为何值时，二面角的大小为.19. (本小题满分12分）已知抛物线上点处的切线方程为 （1）求抛物线的方程； （2）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值20(本小题满分12分) 近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展某汽车交易市场对2018年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图在图1对使用时间的分组中
5、，将使用时间落入各组的频率视为概率 图1图2（1）若在该交易市场随机选取3辆2018年成交的二手车，求恰有2辆使用年限在 的概率；（2）根据该汽车交易市场往年的数据，得到图2所示的散点图，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格由散点图判断，可采用作为该交易市场二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表(表中，)： 5.58.71.9301.479.75385试选用表中数据，求出关于的回归方程；该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择甲：对每辆二手车统一收取成交价格的的佣金；乙：对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的的佣金，对
6、使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的的佣金假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表1，并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金 附注：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；参考数据：21.(本小题满分12分）已知函数.(1)求函数的极值；(2)令函数,若直线与的图象相交于不同的两点,证明：.请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
7、的极坐标方程为（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于两点，求23. 选修45：不等式选讲（10分）已知函数，（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围红岭中学20182019学年度第二学期 高三第四次统一考试数学（理科）试卷答案一、选择题：BACCB ADADB CD 二、填空题： 13（0,1） 14. -5 15. 8 16. 12三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解：（1）由已知， 1分 2分解得， 4分所以，. 6分（2）由（）得，. 7分所以， 9分所以. 12分18. 解：（1）连接，
8、因为，是 的中点，所以是正三角形，取的中点，则，面面， 平面，平面，2分连接，为正三角形，是中点，为的中位线，故，平面 4分（2）由（1）可知，以为坐标原点，以方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 5分不妨设, 则，则，设 ，可得, ， 7分设为平面的一个法向量，则有，即，令，可得， 所以， 9分易知为平面的一个法向量，因为二面角的大小为，所以有， 解得，11分当时，二面角的大小为. 12分19. 解：（）设点，由得，求导，因为直线的斜率为-1，所以且，解得， 所以抛物线的方程为 4分(说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由解得）（）设线段中点，则，直线的方程为，即，过定点. -
9、6分 联立得， -8分 设到的距离， -10分 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 12分 （另解：可以令，构造函数 ，求导亦可） 20 解：（1）由频率分布直方图知，该汽车交易市场2018年成交的二手车使用时间在 的频率为，使用时间在的频率为所以在该汽车交易市场2018年成交的二手车随机选取1辆，其使用时间在的概率为，2分所以所求的概率为3分（2）由得，则关于的线性回归方程为4分由于则关于的线性回归方程为， 6分所以关于的回归方程为 7分根据频率分布直方图和中的回归方程，对成交的二手汽车可预测：使用时间在的频率为，对应的成交价格的预测值为；使用时间在的频率为，对应的成交价格预测值为；使用时间
10、在的频率为，对应的成交价格的预测值为；使用时间在的频率为，对应的成交价格的预测值为；使用时间在的频率为，对应的成交价格的预测值为9分若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 万元；若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 万元因为，所以采用甲方案能获得更多佣金 12分21.解()由，得. 1分当时，此时在上单调递增，无极值； 2分当时，令，得.当时，单调递减；当时，单调递增；故当时函数取极小值； 4分综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. 5分()解法一：由题可得，由此可知直线与的图象的两个交点位于第一象限，不妨设.于是有,6分令，则，于是，解得，7分于是，从而， 9分设，则. 10分令，由和，得， 11分所以，故原不等式得证. 12分解法二：由题可得，且，不妨设，可得，8分两式相减得，考察函数在区间上的定积分，可知， 11分于是有成立. 12分22解法一：（1）由得的普通方程为， 1分又因为， 所以的极坐标方程为3分（或）由得，即，4分所以的直角坐标方程为5分（2）设的极坐标分别为，则6分由消去得，7分化为，即，8分因为，即，所以，或，9分即或所以10分解
