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1、辽宁省辽河油田第二高级中学2020届高三数学4月模拟考试试题 理（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，则复数在复平面上所对应的点位于（ ）A实轴上 B虚轴上 C第一象限 D第二象限2已知集合，集合，则集合中元素的个数为（ ）A4B5C6D73已知命题：，则；命题：，则下列判断正确的是（ ）A是假命题B是假命题C是假命题D是真命题4下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是（ ）A B C D5已知数列中，且，则的值为（ ）ABCD6函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长
2、度得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）A B C D7执行如图的程序框图，已知输出的。若输入的，则实数的最大值为（ ）A1 B2 C3 D48已知双曲线C：（，）的右焦点为，点A、B分别在直线和双曲线C的右支上，若四边形（其中O为坐标原点）为菱形且其面积为，则( )ABC2D92019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ）A B C D10已知三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD11定义在上的偶函数满足，且当时，函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的零点的的
3、个数是（ ）A9B10C11D1212已知直线不过坐标原点，且与椭圆相交于不同的两点的面积为，则的值是（ ）ABCD不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设函数，则的值为_14已知平面向量满足，则与的夹角为_15设满足约束条件且的最小值为7，则_16在各项均为正数的等比数列中，当取最小值时，则数列的前项和为_三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在中，角，的对边分别为， 且的面积为.（1）求；（2）求的周长 .18（12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，且，.（1）证明：平面平面；（2
4、）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.19（12分）已知点到直线的距离比点到点的距离多.（1）求点的轨迹方程；（2）经过点的动直线与点的轨迹交于，两点，是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.20（12分）已知函数. （1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.21(12分）有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），第1站，第2站，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或跳到第100站
5、（失败）时，该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为. （1）求，并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式（）；（2）求证：数列为等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率.(二)、选考题：共10分请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求C的普通方程和的直角坐标方程；（2）求C上的点到距离的最大值23【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知，为一个三角形的三边长.证明：（1）；（2）.高三4月考试数学试题答案（理 ）
6、一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 1-5BBDDA 6-10CDACD 11-12CC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 -16 14 15 16 16.【解析】等比数列中，所以， ，令，则，令，解得 ，因为各项均为正数的等比数列，所以，当时，当时，所以在时取得最小值，设，代入化简可得， 所以 ，两式相减得，.三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【解析】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得. 6分（2），所以，又，且 ，的周长为. 12分18【解析】（1）证明：因为是半圆的直径，所.因为垂直于所在的平面，所以，所以
7、平面.因为，且，所以四边形为平行四边形.所以，所以平面，因为平面，所以平面平面. 6分（2）由题意，、两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.则，所以，.设平面的一个法向量为，则即令，则.设平面的一个法向量为，则即则，则. 因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为. 12分19【解析】（1）由题知，点到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，所以其方程为；5分（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点，则点必在轴上，可设其坐标为.此时，设，则，由题知直线的斜率存在，设其方程为，与联立得，则，故，即存在满足条件的定点. 12分20【解析】（1）的定义域为，在定义域内单调递增，即对恒
8、成立. 则恒成立. ，.所以，的取值范围是. 5分（2）将表示为关于的函数，由且，得，设方程，即得两根为，且. 则，,，,代入得,令，则，得，则, 而且上递减，从而,即, . 12分21【解析】（1）棋子开始在第0站是必然事件，；棋子跳到第1站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为；棋子跳到第2站，有两种情况，第一次掷硬币反面向上，其概率为；前两次掷硬币都是正面向上，其概率为；依题意知，棋子跳到第（）站有两种情况：第一种，棋子先跳到站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先跳到站，又掷出正面，其概率为. 6分（2）由（1）知，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.（3）由（2）知，.玩该游戏获胜的概率为. 12分(二)、选考题：共10分请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为: 为参数)， 转换为普通方程为: ，转换为极坐标方程为: .5分（2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为: (为参数). 把直线的参数方程代入 ，得到: ，( 和 为 ， 对应的参数)，故: ， ，所以 .10分23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于 或 或 解得 或 或 即不等式 的解集为 .5分（2）当 时， ，不等式 可化为 ，若存在 ，使得 ，则 ，所以 的取值范围为 10分
