《2021年递推数列特征方程法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年递推数列特征方程法（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载一、问题的提出递推数列特点方程递推 迭代 是中学数学中一个特别重要的概念和方法，递推数列问题才能要求高，内在联系亲密，包蕴着不少精妙的数学思想和方法；在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是同学特别愿意探讨的递推问题，很多同学都会不约而同地向老师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾遇到过一位宠爱钻研的同学，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列 a1a21, an 1anan1 n2,3, ，求通项公式an ；参考书上的解法是这样的： 解此数列对应特点方程为x2x1 即 x2x10 ，解得 x15 ，2设此数列的通项公式为an1
2、c15 n21c2 5 n ，2由初始条件a1a 21可知，c115215 2151c2215 21c1，解之得5，c1c12所以 anc2 51125 ）n1255 n；522这位同学坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特点方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他仍是“看不懂”；换句话说，这种解法的依据是什么？特点方程是怎样来的？我虽然深知这是特点方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特点方程，我也从未在课堂上作过补充，假如将有关利用特点方程求递推数列通项的一些结论直接出现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，同学是难以接受的，也是不负责任的；面对一头雾水的数学尖子，我
3、在充分确定其善于摸索、勇于探究的珍贵品质的同时，也在苦苦查找解答这一问题的良策；其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解；二、讨论与探究问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：如数列an 满意 a1b, an 1candc1, 其通项公式的求法一般采纳如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设 an 1tcant, 就an 1canc1t，令 c1) tdd ，即 td，当 c c1d1时可得an 1can ，c1c1知数列 a nd是以 c 为公比的等比数列，c1adna1c1dcnc11bc ndb c n 1d将 a1b 代入并整理，得an
4、.c1将上述参数法类比到二阶线性递推数列an 1panqa n1 ,能得到什么结论？仿上，我们来探求数列an 1tan的特点：不妨设an 1tansantan1 ，就 an 1st anstan1 ,令stpstq（ 1） 如方程组有两组不同的实数解s1 ,t1 , s2 , t 2 ,就 an 1t1ans1ant1an1 ,an 1t2 ans2 ant 2an1 ,n1即 an 1t1an、 an 1t 2an分别是公比为s1 、 s2 的等比数列，由等比数列性质可得an 1t1ana2t1a1 s1,an 1t 2ana2t2 a1 s2,1n1 t1t 2, 由上两式消去an 1 可
5、得aa2ns1 t1t1a1t 2n.s1a2 s2 t1t2 a1t2n.s2 .（ 2） 如方程组有两组相等的解s1s2t1t 2，易证此时t1s1 ，就an 1t1ans1 ant1an 12s1 an 1t1an 2 ns11a2t1a1 ，nn1an 1ans1s1a2s1a12s1an,即ns1是等差数列，ann由等差数列性质可知s1a1ns11 . a2s1a12，s1所以 a na1a 2s1s1a 12s1a 2s1 a1 .n s1s n 21（限于同学学问水平，如方程组有一对共轭虚根的情形略）2这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数
6、列的通项， 如将方程组消去 t 即得 s2psq0 ，明显s 、s 就是方程 xpxq2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：an 1pan12qa n 1 的特点方程，于是我们nn设递推公式为an 1panqan1, 其特点方程为xpxq即x 2pxq0 ，n1、 如方程有两相异根s1 、 s2 ，就 anc1s1c2 s2 ；2、 如方程有两等根s1s2 ，就 anc1nc2 s1 .其中 c1 、 c2 可由初始条件确定；这正是特点方程法求递推数列通项公式的根源所在，令pq1 ，就可求得斐波那契数列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫
7、”！将上述方法连续类比到分式线性递推数列an 1a anc anb（ a,b, c, ddR, c0 ），看看又会有什么发觉？仿照前面方法，等式两边同加参数t ，就 an 1ta anbtan actb dtactc andc and令 tbdt ，即actct 2ad tb0记此方程的两根为t1,t 2 ，（ 1） 如 t1t 2 ，将 t1, t 2 分别代入式可得an 1t1act1ant1c andan 1t 2act 2 ant2c and以上两式相除得an 1t1an 1t 2act1ant1 ，act 2ant2于是得到ant1ant2为等比数列，其公比为act1 ，act2数列
8、 an的通项ant1aan 可由nt 2a1t1 aa1t2act1 nct 21求得；（ 2）如 t1t 2 ，将 tt 1 代入式可得an 1t1 act1 ant1,c and考虑到上式结构特点，两边取倒数得1an 1t11act1cant1dant1ct1由于 t 1t2 时方程的两根满意2t1ad， acct1dct1于是式可变形为1a n 1t1cact11ant11ant1为等差数列，其公差为c，act1数列 an的通项an 可由1ant11a1t1n1cact1求得这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项；假如我们引入分式线性递推数
9、列an 1aanc anb （ a, b,c,d dR, c0 ）axb2的特点方程为x，即 cxdaxb0 ，此特点方程的两根恰好是方程两cxd根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列 aa anba, b, c, dR,c0 ），其特点方程为xaxb，n 1（2即 cxdaxbc and0 ，cxd1、如方程有两相异根ans1 、 s2 ，就ans1成等比数列，其公比为s2acs1；acs22、如方程有两等根 s1s2 ，就1ans1成等差数列，其公差为c.acs1值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时当然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要；如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特点方程法完全一样，有爱好的读者不妨一试；三、应用举例例1、 已知数列 a11, a 25, 且 an 14an4an1 n2) ，求通项公式an ；解设 an 1tans anta n1 ，an 1 stanstan 1st4s2令可得2n1st4t2于是 an 12an2 an2an 122 a2 an 2 2 n 1 a2a1 3 2 n 1 ，an 1an3ana113 n 1n22，即是以42n21为首项、24为公差的等差数列， an2 n1n2134，从而 an
